[論文レビュー] Inverse Optimal Stopping

Thomas Kruse, Philipp Strack|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、与えられた停止時刻 τ⋆ が最適となるようにする時間依存摂動関数 π を特定することにより、1次元の拡散過程における逆最適停止問題を解いている。τ⋆ が時間に依存する境界 b(t) の最初の hitting 時刻であることを証明し、反射された拡散過程 Ŷ を用いて π の閉形式表現を導出し、b(t) に関する新しい積分方程式を導いている。

ABSTRACT

Let $X$ be a one-dimensional diffusion and $g$ a payoff function depending on time and the value of $X$. The paper analyzes the inverse optimal stopping problem of finding a time-dependent function $\pi:[0,T] o\mathbb{R}$ such that a given stopping time $ au^{\star}$ is a solution of the stopping problem $\sup_{ au\in[0,T]}\mathbb{E}\left[g( au,X_{ au})+\pi( au) ight]$. Under regularity and monotonicity conditions, there exists a solution $\pi$ if and only if $ au^{\star}$ is the first time $X$ exceeds a time-dependent cut-off $b$, i.e. $ au^{\star}=\inf\left\{ t\ge0\,|\, X_{t}\ge b(t) ight\}\wedge T \,.$ We prove uniqueness of the solution $\pi$ and derive a closed form representation. The representation is based on the process $ ilde{X}$ which is a version of the original diffusion $X$ reflected at $b$, \[ \pi(t)=\mathbb{E}\left[\int_{t}^{T}(\partial_{t}+\mathcal{L}g)(s, ilde{X}_{s})\mathrm{d}s\,|\, ilde{X}_{t}=b(t) ight]\,. \] The results lead to a new integral equation characterizing the stopping boundary $b$ of the stopping problem $\sup_{ au\in\mathcal{T}}\mathbb{E}\left[g( au,X_{ au}) ight]$.

研究の動機と目的

• 時間依存報酬 g(t, X_t) に対して与えられた停止時刻 τ⋆ が最適であるための条件を特定すること。
• 逆問題を解くこと：τ⋆ が摂動報酬 g(τ, X_τ) + π(τ) に対しても最適のままとなるような時間依存関数 π(t) を特定すること。
• 拡散過程 X と報酬 g を用いて最適停止境界 b(t) の構造を特徴づけること。
• 反射された拡散過程 Ŷ を用いて、摂動 π(t) の閉形式表現を導出すること。

提案手法

• τ⋆ が時間に依存する境界 b(t) の最初の hitting 時刻であると仮定する。すなわち τ⋆ = inf{t ≥ 0 | X_t ≥ b(t)} ∧ T。
• 境界の挙動を分析するために、b(t) で反射された X のバージョンである反射拡散過程 Ŷ を導入する。
• π(t) = ℰ[∫_t^T (∂_t + ℒ)g(s, Ŷ_s) ds | Ŷ_t = b(t)] の表現を導出する。ここで ℒ は X の生成作用素である。
• g と b に対する正則性および単調性条件を用いて、π の存在と一意性を保証する。
• τ⋆ が b(t) の hitting 時刻である場合に限り、π が存在し一意であることを確立する。
• π の表現と最適性条件を組み合わせることで、境界 b(t) に関する新しい積分方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた停止時刻 τ⋆ が、時間依存摂動 π(t) によって報酬 g(τ, X_τ) に対して最適性を保つための条件は何か？
• RQ2 逆問題において τ⋆ を最適にする明示的な摂動 π(t) の形は何か？
• RQ3 最適停止境界 b(t) は、拡散過程 X と報酬 g を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ4 逆問題は、反射された拡散過程 Ŷ を含む表現に還元可能か？
• RQ5 元の最適停止問題において、境界 b(t) を記述する積分方程式は何か？

主な発見

• 停止時刻 τ⋆ が摂動問題に対して最適であるための必要十分条件は、それが時間に依存する境界 b(t) の最初の hitting 時刻であることである。
• 摂動関数 π(t) は、反射された拡散過程 Ŷ 沿いに時間空間作用素を g に作用させた条件付き期待値を含む閉形式表現を持つ。
• 表現 π(t) = ℰ[∫_t^T (∂_t + ℒ)g(s, Ŷ_s) ds | Ŷ_t = b(t)] は、正則性および単調性条件のもとで最適性の必要十分条件である。
• 提示された条件下では、解 π は一意である。
• 本研究の結果は、摂動なしの元の問題に対して最適停止境界 b(t) を特徴づける新しい積分方程式を導く。
• 反射された拡散過程 Ŷ は、π を表現し、逆問題と直接問題を結びつける中心的な役割を果たす。