[論文レビュー] Inverse Potential Problems for Divergence of Measures with Total Variation Regularization

Laurent Baratchart, Cristóbal Villalobos Guillén+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 43被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、3次元におけるベクトル値測度の発散に関する逆ポテンシャル問題を扱い、磁場測定値から磁化分布を再構成するために全 variation 正則化を用いる。正則化パラメータとノイズが 0 に近づく条件下で、スパースまたは一方向磁化が一意に回復可能であることを確立し、数値結果により真のデュポールに収束することを確認している。

ABSTRACT

We study inverse problems for the Poisson equation with source term the divergence of an $\\mathbf{R}^3$-valued measure, that is, the potential $\\Phi$ satisfies $$ \\Delta \\Phi= \ ext{div} \\boldsymbol{\\mu}, $$ and $\\boldsymbol{\\mu}$ is to be reconstructed knowing (a component of) the field grad $\\Phi$ on a set disjoint from the support of $\\boldsymbol{\\mu}$. Such problems arise in several electro-magnetic contexts in the quasi-static regime, for instance when recovering a remanent magnetization from measurements of its magnetic field. We develop methods for recovering $\\boldsymbol{\\mu}$ based on total variation regularization. We provide sufficient conditions for the unique recovery of $\\boldsymbol{\\mu}$, asymptotically when the regularization parameter and the noise tend to zero in a combined fashion, when it is uni-directional or when the magnetization has a support which is sparse in the sense that it is purely 1-unrectifiable. Numerical examples are provided to illustrate the main theoretical results.

研究の動機と目的

• 支持領域外の磁場測定値から3次元磁化分布を再構成するためのフレームワークを構築すること。
• ベクトル測度の発散を含む逆ポテンシャル問題の悪条件性に対処すること。
• 測度の全 variation を用いた正則化を適用した場合に、磁化が一意に回復可能であるための十分条件を確立すること。
• 再構成の忠実度を向上させるために、純粋 1-非可縮的および一方向支持という幾何学的・測度論的スパarsity 概念を検討すること。
• FISTA および In-Crowd アルゴリズムを用いた離散化されたデュポール源モデルにおける数値例を通じて理論的結果を検証すること。

提案手法

• 測定値 Q が S と交差しない領域で grad Φ の測定値から μ ∈ M(S)³ を再構成する問題として、ΔΦ = div μ を定式化する。
• 全 variation 正則化を用いて逆問題を安定化させ、データ適合性と μ の全 variation を組み合わせた汎関数を最小化する。
• ポアソン＝ホッジ分解を用いて磁場を回転成分と発散成分の和として表現し、ソリノイダル測度と関連付ける。
• S-サイレント磁化（S 外部で磁場が消えるもの）の概念を用い、3次元 Lebesgue 測度が 0 で補集合に無限個の連結成分を持つ細長い集合（slender sets）の性質を活用して、発散成分が 0 である場合の一意性を保証する。
• FISTA および In-Crowd アルゴリズムを用いて、デュポール格子上で離散化されたモデルに対して数値的再構成を実装し、正則化パラメータ λ がスパarsity を制御する。
• 前向き作用素 A: μ ↦ v·b(μ)|Q が S-サイレントクラス上で有界かつ単射であると仮定し、解の同定可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支持領域 S に対して、どのような幾何学的および測度論的条件下で、磁化 μ が S 外部の磁場測定値から一意に回復可能となるか？
• RQ2 全 variation 正則化は、無限次元関数空間におけるスパースまたは一方向磁化分布の回復をどのように可能にするか？
• RQ3 細長い集合の性質（3次元 Lebesgue 測度が 0 で、補集合に無限個の連結成分を持つ）は、S-サイレント磁化が必然的に発散成分が 0 であることを保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 正則化パラメータ λ とノイズレベル ε を同時に 0 に近づけるとき、再構成は真のデュポール配置に収束するか？
• RQ5 磁化の構造的性質（例：純粋 1-非可縮的または区分的 1-方向的）は、再構成の収束性および正確性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• コンパクトで細長い集合 S 上の有限個の点デュポールに対して、再構成測度 μλ,e は λ → 0 かつノイズ → 0 のとき全 variation で真のデュポール強度に収束する。
• 真のデュポール位置の周囲の球上で再構成測度 μλ,e の全 variation は、真のデュポールモーメントに収束する：|μλ,e|(B(x(j),r)) → |vj| が λ, ε → 0 のとき成り立つ。
• 真のデュポールの近傍を除く S 上の再構成測度 μλ,e の全 variation は 0 に収束する：|μλ,e|(S∖∪jB(x(j),r)) → 0 が λ, ε → 0 のとき成り立つ。
• 再構成測度 μλ,e の台は、有限個の解析的曲面、曲線、点の和集合に含まれており、解の構造的単純性を示している。
• 20 個のデュポールに対する数値再構成では、λ = 10−12 のとき真の μ0 との相対全 variation 距離が 0.004 にまで低下し、収束を確認している。
• 4 つの非交差領域にわたる区分的 1-方向磁化に対しては、λ = 10−14 のとき相対距離が 0.015 にまで低下し、構造的仮定下でのロバストネスを示している。