[論文レビュー] Inverse Problem of Finding the Time-dependent Coefficient of Heat Equation from Integral Overdetermination Condition Data

Mansur I. Ismailov, Fatma Kanca|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2010

Numerical methods in inverse problems参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、非局所的境界条件および積分的過剰決定条件を伴う1次元熱方程式において、時間に依存する熱拡散係数 $ a(t) $ と温度分布 $ u(x,t) $ を特定する逆問題に取り組む。フーリエ法と不動点原理を用いて、特定の滑らかさおよび適合性条件の下で古典解の存在および一意性を証明し、Crank-Nicolsonに基づく数値スキームと予測子・補正子反復法を用いて逆問題を解く手法を提示。数値例を通じて高い精度で検証された。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of simultaneously determining the time-dependent thermal diffusivity and the temperature distribution in one-dimensional heat equation in the case of nonlocal boundary and integral overdetermination conditions. We establish conditions for the existence and uniqueness of a classical solution of the problem under considerations. We present some results on the numerical solution with an example.

研究の動機と目的

• 非局所的境界条件および積分的過剰決定条件を伴う1次元熱方程式において、$ a(t) $ と $ u(x,t) $ を特定する逆問題の古典解の存在および一意性を保証する条件を確立すること。
• 解が問題のデータに連続的に依存することを分析すること。
• Crank-Nicolsonスキームおよび反復的予測子・補正子法に基づく数値アルゴリズムを、逆問題を解くために開発すること。
• 既知の正確解を有する数値例を通じて手法を検証し、収束性および精度を示すこと。

提案手法

• 空間領域における固有関数展開を用いて、フーリエ法により問題を不動点問題に変換する。
• 非局所的境界条件に関連する固有値問題を分析し、固有関数および関連関数の双対正規直交系を構成する。
• 解は固有関数を用いた級数展開として表現され、時間に依存する係数 $ a(t) $ は積分的過剰決定条件 $ \int_0^1 u(x,t)dx = E(t) $ から導出される。
• 予測子・補正子反復スキームを設計：係数 $ a^{j+1} $ は $ E(t) $ の時間微分と $ u $ の空間勾配から予測され、その後Crank-Nicolsonスキームにより補正される。
• Crank-Nicolsonスキームは空間および時間で2次精度を有し、ガウスの消去法を用いて反復的に解かれる。
• 数値実装では、$ h = 0.005 $、$ \tau = h/4 $ の有限差分離散化が用いられ、反復の差分が所定の許容誤差以下に低下するまで収束をモニタリングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的境界条件および積分的過剰決定条件を伴う1次元熱方程式において、時間に依存する熱拡散係数 $ a(t) $ と温度 $ u(x,t) $ を特定する逆問題が、古典解を有するための条件は何か？
• RQ2 解の存在および一意性を保証するための初期関数、源項関数、および過剰決定関数に必要な滑らかさおよび適合性条件は何か？
• RQ3 積分条件 $ \int_0^1 u(x,t)dx = E(t) $ から時間に依存する係数 $ a(t) $ をどのように再構成できるか？また、その再構成の安定性はいかほどか？
• RQ4 非局所的条件を伴う逆問題を解く際に、2次精度および安定性を保証する数値スキームは何か？
• RQ5 提案された反復的数値手法は、正確解と比較して $ a(t) $ および $ u(x,t) $ をどの程度の精度で回復できるか？

主な発見

• 仮定(A1)–(A3)の下で、解は $ Q_T $ で古典解として存在する。これらはデータの滑らかさ、適合性、正値性条件を含む。
• 解は $ Q_{T_0} $ で一意に定まるが、$ T_0 < T $ であり、$ T_0 $ は問題のデータに依存する。
• Crank-Nicolsonと反復的予測子・補正子スキームに基づく数値手法は、$ a(t) $ および $ u(x,t) $ を高い精度で回復できた。
• テスト例（$ T = 1/4 $、$ h = 0.005 $、$ \tau = h/4 $）において、正確解 $ a(t) = \frac{1}{(2\pi)^2} + \exp(4t) $ および $ u(x,t) = (1-x)\sin(2\pi x)\exp(-t) $ とほぼ一致する結果を得た。
• 反復スキームは収束し、連続する反復間の差分が所定の許容誤差以下に達すると、各時刻における $ a(t) $ および $ u(x,t) $ の計算値が受容された。
• 表1および表2の数値結果により、手法は安定性および2次精度を示した。