[論文レビュー] Inverse Problems for Matrix Exponential in System Identification: System Aliasing

Zuogong Yue, Johan Thunberg+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

Control Systems and Identification参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、低サンプリングレート下での連続時間線形系におけるスパースまたは部分的に既知のA行列のシステム同定を扱う。『システムアリヤシング』——不十分なサンプリングにより行列対数の非一意性が生じる現象——を導入し、スパarsity制約とFréchet微分を用いて、A行列を有限個の同値類にまで同定する手法を提案する。主たる貢献は、スパarsityおよびノルム制約の下で同定可能性を保証する理論的枠組みであり、アリヤシングを回避するための最小サンプリング周波数を導出する。

ABSTRACT

This note addresses identification of the $A$-matrix in continuous time linear dynamical systems on state-space form. If this matrix is partially known or known to have a sparse structure, such knowledge can be used to simplify the identification. We begin by introducing some general conditions for solvability of the inverse problems for matrix exponential. Next, we introduce "system aliasing" as an issue in the identification of slow sampled systems. Such aliasing give rise to non-unique matrix logarithms. As we show, by imposing additional conditions on and prior knowledge about the $A$-matrix, the issue of system aliasing can, at least partially, be overcome. Under conditions on the sparsity and the norm of the $A$-matrix, it is identifiable up to a finite equivalence class.

研究の動機と目的

• データが疎にサンプリングされている場合の連続時間線形系におけるA行列の同定という課題に対処する。
• 低サンプリングレートによる行列対数の非一意性の原因として『システムアリヤシング』を形式化する。
• スパarsityおよびノルム制約を用いて、A行列が有限個の同値類にまで一意に同定可能な条件を提示する。
• システムアリヤシングを回避し、逆問題の可解性を保証するための最小サンプリング周波数を確立する。
• 構造的解釈可能性を向上させるために、アリヤシングを受けるシステム表現の中から最もスパースなものを選択する枠組みを構築する。

提案手法

• e^A = P のすべての解を特徴付けるために、主値行列対数（Log）およびジョルダン標準形による一般化対数を用いる。
• Fréchet微分を適用して行列指数関数および対数関数の感度をモデル化し、vec(Lexp) = K(X,0)vec(E) による線形近似を可能にする。
• 候補A行列の集合Sを A = Ā + E かつ E ∈ S と定義し、strip G(1) を用いて固有値に制約を課して一意性を確保する。
• 同じ e^{hA} を持つ解同士（A ∼ A'）の同値類の概念を導入し、Z(A) のフロベニウスノルムを用いてそれらを区別する。
• 固有値制約および二次形式を用いて、対数解における整数シフト δk の上限を導出し、解の有限性を証明する。
• 同定プロセスにおいて測定行列Dが異なるE摂動を区別できるようにするため、L ∩ ker(D) = {0} の条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間システム同定における離散時間遷移行列の行列対数が、どのような条件下で一意に定義されるか。
• RQ2 低サンプリング周波数はどのようにシステムアリヤシングを引き起こし、それを回避する最小サンプリング周波数は何か。
• RQ3 A行列に対するスパarsity制約を用いることで、行列指数関数同定の逆問題における非一意性を解消できるか。
• RQ4 システムアリヤシングが生じた場合の逆問題の解集合の構造は何か。また、それは有限個の同値類に縮小可能か。
• RQ5 数学的制約および最適化を用いて、アリヤシングを受ける表現の中から最もスパースな解をどのように選べるか。

主な発見

• システムアリヤシングを回避するための最小サンプリング周波数は、A行列のスペクトル特性に基づいて導出された。
• A行列がスパースであり、ノルムが有界である場合、e^{hA} からAを同定する逆問題の解集合は、同値類の意味で有限である。
• 一般には、e^A = P を満たす解の数は可算無限個であるが、スパarsityおよびノルム制約の下では、有限個の解に制限される。
• 同じ同値類に属する異なる解AとA'の間のフロベニウスノルムの差は、正の定数M(Ā) > 0 で下から有界である。
• 真のA行列の周囲の有界ノルム区間 [κl, κu] 内で一意な解を選べるため、有限同値類にまで同定可能であることが保証される。
• 対数解における整数シフト δk の集合は有限であり、固有値およびノルム制約を含む二次形式を用いて有界である。