[論文レビュー] Inverse problems for $p$-Laplace type equations under monotonicity assumptions

Chang‐Yu Guo, Manas Kar+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非線形Dirichlet-到-Neumann写像を用いた$p$-Laplace型方程式における導電率$\sigma$の逆問題の解の一意性を確立する。単調性仮定（$\sigma_1 \geq \sigma_2$）の下で、2次元では単調性不等式と一意的拡張を用いて、同一のDN写像が同一の導電率を意味することを証明する。高次元では、定数関数に近い導電率に対して一意性が成り立つ。

ABSTRACT

We consider inverse problems for $p$-Laplace type equations under monotonicity assumptions. In two dimensions, we show that any two conductivities satisfying $σ_1 \geq σ_2$ and having the same nonlinear Dirichlet-to-Neumann map must be identical. The proof is based on a monotonicity inequality and the unique continuation principle for $p$-Laplace type equations. In higher dimensions, where unique continuation is not known, we obtain a similar result for conductivities close to constant.

研究の動機と目的

• 単調性仮定の下で$p$-Laplace型方程式の逆導電率問題を解くこと。
• 非線形Dirichlet-到-Neumann写像$\Lambda_\sigma$から導電率$\sigma$の一意性を確立すること。
• 線形化が失敗する非線形設定にCalderón問題を拡張すること。
• 高次元における一意的拡張の困難さを解消するため、定数関数に近い導電率に制限すること。

提案手法

• 単調性仮定$\sigma_1 \geq \sigma_2$の下でDN写像を比較する単調性不等式を用いる。
• 2次元における$p$-Laplace型方程式のための一意的拡張原理を適用する。
• 複素解析と準正則写像を用いて、$\mathbb{C}$における$p$-調和関数を分析する。
• 重み付き$q$-調和双対（$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$）を用い、解の局所$W^{1,2}$正則性を確立する。
• 準正則写像とホルダー連続関数による解の表現を構成する。
• 複素導関数$\partial_{\bar{z}}F$の構造を分析し、有界係数をもつBeltrami型方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元において、単調性$\sigma_1 \geq \sigma_2$の下で、非線形Dirichlet-到-Neumann写像$\Lambda_\sigma$から導電率$\sigma$が一意に特定可能か？
• RQ2 $p$-Laplace方程式の一意的拡張性が、$\sigma_1 \geq \sigma_2$の下で2次元における一意性を保証するか？
• RQ3 一意的拡張が高次元で保証されない場合でも、定数関数からの小さな摂動を許容する条件下で一意性が達成可能か？
• RQ4 単調性不等式が非線形逆問題における事前推定や包含検出に応用可能か？
• RQ5 複素形式における$p$-調和関数の正則性と構造が、逆問題の可解性にどのように影響するか？

主な発見

• 2次元では、$\sigma_1 \geq \sigma_2$かつ$\Lambda_{\sigma_1} = \Lambda_{\sigma_2}$ならば、$\sigma_1 = \sigma_2$ almost everywhere が成り立つ。
• 証明は単調性不等式と$p$-Laplace型方程式の一意的拡張原理に依拠する。
• 高次元では、導電率$\sigma$が定数関数に十分近い場合に一意性が成り立つ。
• 解の構造は、$|q_1| + |q_2| < 1$を満たす形の複素微分方程式$\partial_{\bar{z}}F = q_1 \partial_z F + q_2 \overline{\partial_z F} + H(z,F)$を用いて分析される。
• 重み付き双対$q$-調和方程式（$q > 2$）を用いることで、$F$の局所$W^{1,2}_{\text{loc}}$正則性が確立され、複素解析的手法の有効性が保証される。
• もし$u$が開集合上で定数であれば、$F_a \equiv 0$ならば$u$は全域で定数となる。これは、$p$-Laplace枠組み下での解の強い剛性を確認する。