[論文レビュー] Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds

Matti Lassas, Günther Uhlmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、4次元のLorentz的多様体上の非線形波動方程式の源から解への写像が、時空的測地線の近傍で計量の共形類および非線形性の4次までのテイラー係数を特定することを確立している。非線形波動の特異点の微局所解析を用いて、一般の滑らかさおよび非退化性条件の下で計量および非線形性の逆問題が解けることを証明しており、漸近展開およびゲージ不変な構成を用いて、先行研究の二次非線形性への結果を高次非線形性へと拡張している。

ABSTRACT

We consider inverse problems in space-time $(M, g)$, a $4$-dimensional Lorentzian manifold. For semilinear wave equations $\square_g u + H(x, u) = f$, where $\square_g$ denotes the usual Laplace-Beltrami operator, we prove that the source-to-solution map $L: f ightarrow u|_V$, where $V$ is a neighborhood of a time-like geodesic $μ$, determines the topological, differentiable structure and the conformal class of the metric of the space-time in the maximal set where waves can propagate from $μ$ and return back. Moreover, on a given space-time $(M, g)$, the source-to-solution map determines some coefficients of the Taylor expansion of $H$ in $u$.

研究の動機と目的

• 境界測定値から半線形波動方程式における計量の共形類および非線形性のテイラー係数を特定すること。
• 二次非線形性に関する先行の逆問題結果を、4次以上の一般的な滑らかな非線形性へと拡張すること。
• 源から解への写像が、微分同相写像による計量およびゲージ同値による非線形性を一意に特定することを確立すること。
• 2波から4波までの非線形波動相互作用における特異点の伝播を分析し、計量および非線形性に関する情報を抽出すること。
• 解析的および消滅条件の下で、共形因子および高次非線形係数が源から解への写像から再構成可能であることを示すこと。

提案手法

• 源から解への写像 $ L(f) = u|_V $ の使用。ここで $ u $ は $ \square_g u + H(x,u) = f $ を満たし、$ f $ は時空的測地線の近傍 $ V $ において compact に台を持つ源である。
• 特異点の伝播および非線形波動方程式における特異点の相互作用を研究するため、特にペアドラグランジュアン分布および共法線分布を用いた微局所解析の応用。
• 2波から4波までの波動相互作用を用いた解の漸近展開。特に、主符号を有する特異点に注目する。
• 準解の構成およびゲージ変換の使用により、元の波動作用素を主符号を保つヤマベ型作用素に変換する。
• 小規模な $ C^4 $-滑らかな compact に台を持つ関数上での逆写像 $ (L|_{W_0})^{-1} $ を導出し、$ z=0 $ の近傍における $ H(x,z) $ を回復する。
• 係数を異なるゲージ間で関連付けるための恒等式 $ a^{(1)}b^{(1)} = e^{-\gamma} a^{(2)}b^{(2)} $ を用いて、共形因子 $ \gamma $ を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 源から解への写像が、半線形波動方程式のLorentz計量の共形類を再構成可能か？
• RQ2 源から解への写像が、$ z=0 $ の近傍における非線形性 $ H(x,z) $ のテイラー係数をどの程度特定可能か？
• RQ3 2波から4波までの非線形波動の相互作用が、計量および非線形性の情報回復にどのように寄与するか？
• RQ4 ゲージ不変性は逆問題においてどのような役割を果たし、計量および非線形性を回復するためにどのように扱えるか？
• RQ5 共形因子 $ \gamma $ が測定値から一意に決定可能となる条件は何か？

主な発見

• 源から解への写像は、波動が時空的測地線 $ \mu $ から出発し、再び戻ることができる最大領域 $ I(p_-, p_+) $ において、計量 $ g $ の共形類を決定する。
• 非線形性 $ H $ が実解析的かつ $ z=0 $ で少なくとも4次に消えると仮定すると、写像は $ k \geq 2 $ および $ x \in V $ に対して $ \partial_z^k H(x,0) $ のテイラー係数を一意に特定する。
• リッチ曲率が消える、または $ H $ が $ x $ に依存しない場合、共形因子 $ \gamma $ は定数の差を除いて一意に決定される。
• 一般の $ H(x,z) $ に対しては、小規模な $ C^4 $-滑らかな関数上での源から解への写像の逆写像を用いて、$ \partial_z^k H(x,0) $ の係数が再構成可能である。
• 非線形相互作用特異点の主符号は、恒等式 $ a^{(1)}b^{(1)} = e^{-\gamma} a^{(2)}b^{(2)} $ を通じて計量および非線形性と関連づけられ、これにより計量の回復が可能となる。
• 逆問題は、計量を微分同相写像の意味で、非線形性をゲージ同値の意味で特定するという意味で解ける。二次非線形性から高次非線形性への結果の拡張が達成された。