[論文レビュー] Inverse problems for the stationary transport equation in the diffusion scaling

Ru-Yu Lai, Qin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、拡散スケーリング下での放射移動方程式（RTE）における光学的パラメータの逆問題について安定性評価を確立し、問題がリプシッツ安定ではあるが、クヌーゼン数（Kn）が小さくなるにつれてリプシッツ定数が指数関数的に増大することを示している。これは、小Kn領域における拡散方程式の逆問題が著しく悪条件であることを説明しており、やや悪条件なRTEと著しく悪条件な拡散方程式の逆問題の間のギャップを埋めている。

ABSTRACT

We consider the inverse problem of reconstructing the optical parameters of the radiative transfer equation (RTE) from boundary measurements in the diffusion limit. In the diffusive regime (the Knudsen number $\mathsf{Kn}\ll 1$), the forward problem for the stationary RTE is well approximated by an elliptic equation. However, the connection between the inverse problem for the RTE and the inverse problem for the elliptic equation has not been fully developed. This problem is particularly interesting because the former one is mildly ill-posed , with a Lipschitz type stability estimate, while the latter is well known to be severely ill-posed with a logarithmic type stability estimate. In this paper, we derive stability estimates for the inverse problem for RTE and examine its dependence on $\mathsf{Kn}$. We show that the stability is Lipschitz in all regimes, but the coefficient deteriorates as $e^{\frac{1}{\mathsf{Kn}}}$, making the inverse problem of RTE severely ill-posed when $\mathsf{Kn}$ is small. In this way we connect the two inverse problems. Numerical results agree with the analysis of worsening stability as the Knudsen number gets smaller.

研究の動機と目的

• 小Kn領域における放射移動方程式（RTE）の逆問題と拡散方程式の間の関係を明確化すること。
• RTEの逆問題の安定性とクヌーゼン数（Kn）への依存関係を分析すること。
• RTEの逆問題がやや悪条件（リプシッツ安定）に見える一方で、対応する拡散方程式の逆問題が著しく悪条件（対数安定）である理由を説明すること。
• Kn→0に伴いリプシッツ定数が指数的に劣化することを示す定量的安定性評価を導出すること。
• 理論的結果を数値実験により検証し、Knが小さくなるにつれて安定性が悪化することを示すこと。

提案手法

• 拡散スケーリング下でのRTEにおける全吸収係数σ_Knの逆問題の安定性評価を導出すること。
• アルベド作用素の核の特異値分解を用いて、境界測定の構造を分析すること。
• リプシッツ型の安定性評価をRTEの逆問題に対して確立し、そのリプシッツ定数が1/Knの指数関数的依存性を示すこと。
• Kn→0におけるアルベド作用素の漸近的挙動を分析し、主要な特異部（A₁）が指数関数的に減衰することを示すこと。
• アルベド作用素およびその特異部A₁の作用素ノルムを数値的に計算し、理論的減衰および発散挙動を検証すること。
• Kn、σ_s、摂動サイズzを変化させた数値実験を実施し、理論的1/Knおよびz依存性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散スケーリング下でクヌーゼン数KnがRTEの逆問題の安定性にどのように影響するか？
• RQ2 2つのモデルが漸近的に同値であるにもかかわらず、RTEの逆問題はやや悪条件（リプシッツ）に見えるが、対応する拡散方程式の問題は著しく悪条件（対数）であるのはなぜか？
• RQ3 安定性定数がKnにどのように依存するかを正確に特定し、悪条件性の遷移を説明できるか？
• RQ4 Kn→0に伴い、アルベド作用素の特異部A₁が指数関数的に減衰することは数値的に確認できるか？
• RQ5 理論的に予測されたように、2つのアルベド作用素の差∥A - Ã∥_* が小Knでe^{-c/ Kn}に比例して減少するか？

主な発見

• RTEの逆問題はリプシッツ安定性を示すが、リプシッツ定数はe^{1/ Kn}に比例して増大し、小Kn（拡散）領域では著しく悪条件となる。
• 数値結果により、アルベド作用素の特異部A₁の作用素ノルムが1/ Knの増加に伴い指数関数的に減少することが確認され、e^{-0.1/ Kn}と整合的である。
• 固定された摂動サイズz=0.025で、2つのアルベド作用素の差∥A - Ã∥_* がe^{-0.05/ Kn}に比例して減少し、理論的指数的依存性を確認した。
• Kn→0に伴い、全アルベド作用素Aとその特異部A₁との差が増大するため、A₁がAに与える寄与度が低下し、パラメータ分離が困難になることが示された。
• 数値実験により、Knを1に固定した場合、∥A - Ã∥_* が摂動サイズzに対して線形依存であることが示され、リプシッツ連続性の結果を支持した。
• 理論的上界が、有限なKnおよびzの値に制限された計算でも数値的に妥当であることが確認された。