[論文レビュー] Inverse problems with second-order Total Generalized Variation constraints

Kristian Bredies, Tuomo Valkonen|arXiv (Cornell University)|May 19, 2020

Image and Signal Denoising Methods参考文献 10被引用数 30

ひとこと要約

本論文は、二次の総一般化変分（TGV^2）を不適定な線形反問題の正則化項として分析し、良性性（existence, uniqueness, stability）の証明と BV の同等性を示し、数値的データによるデブラーリングを実証する。

ABSTRACT

Total Generalized Variation (TGV) has recently been introduced as penalty functional for modelling images with edges as well as smooth variations. It can be interpreted as a "sparse" penalization of optimal balancing from the first up to the $k$-th distributional derivative and leads to desirable results when applied to image denoising, i.e., $L^2$-fitting with TGV penalty. The present paper studies TGV of second order in the context of solving ill-posed linear inverse problems. Existence and stability for solutions of Tikhonov-functional minimization with respect to the data is shown and applied to the problem of recovering an image from blurred and noisy data.

研究の動機と目的

• 本研究の目的は、二次の TGV^2 を不適定な線形逆問題の正則化項として動機づけ、定式化すること。
• TGV^2 が半ノルムであり、適切な空間において BV と位相的に等価であることを確立する。
• Tikhonov 型最小化解の存在とデータの摂動に対する安定性を証明する。
• BDベクトル場と Sobolev– Korn 不等式を用いた最小化を通じて、TGV^2 を BV に関連づける。
• 理論をデコンボリューション（デブラーリング）問題に適用し、数値結果で示す。

提案手法

• 二次の Total Generalized Variation (TGV^2) とその対偶/鞍点表現を定義する。
• TGV^2(u)=min_{w in BD(Ω)} α1||Du − w||_M + α0||Ew||_M (Fenchel–Rockafellar 双対性を用いて)。
• 位相的等価性を示す: c||u||_BV ≤ ||u||_1 + TGV^2_α(u) ≤ C||u||_BV.
• Poincaré–Wirtinger 不等式と BD/Sobolev–Korn の議論を用いて、推定性と BV 等価性を得る。
• チコノフ問題の解の存在とデータの摂動に対する安定性を証明し、相対的弱コンパクト性を論じる。
• primal–dual アルゴリズムに適した鞍点型定式化を提供し、デコンボリューションの例 (u ∗ k) に適用する。
• 凸問題の実用的な解法として primal–dual アルゴリズムを参照する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TGV^2 は線形逆問題に対して良性性のある正則化を提供するか。
• RQ2 TGV^2 は位相的に BV に等価であり、BV を用いた existence/stability の分析を可能にするか。
• RQ3 ノイズを含むデータで安定したデブラーリングを TGV^2 正則化は実現できるか。
• RQ4 逆問題におけるエッジと滑らかな領域の扱いにおいて、TGV^2 は TV とどう比較されるか？

主な発見

• TGV^2 は空間 BGV^2(Ω) 上の半ノルムである。
• TGV^2(u)=0 は u が次数 < 2 の多項式であることと同値。
• TGV^2 とスケーリングされた α の TGV^2 は等価であり、TGV^2 は回転不変である。
• 再サンプリングに対するスケーリング性: TGV^2∘ρ_r = r^{-d} TGV^2 に対し α̃=(α0 r^2, α1 r)。
• TGV^2 は L^p(Ω) 上で適切、凸、下半連続である。
• BGV^2(Ω) は BV(Ω) と位相的に等価である: c||u||_BV ≤ ||u||_1 + TGV^2_α(u) ≤ C||u||_BV.
• Tikhonov 問題の解の存在とデータ摂動に対する安定性が確立されている。
• TGV^2 を用いたデブラーリング問題は解を持ち、データに対して安定である。数値的には、デブラーリングタスクで TV よりも TGV^2 が改善する。