[論文レビュー] Inverse scattering at fixed energy on asymptotically hyperbolic Liouville surfaces

Thierry Daudé, Niky Kamran+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 37被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、2つの端を持つ漸近的に双曲的Liouville表面の全計量が、固定非ゼロエネルギーにおける散乱行列の反射係数から一意に再構成可能であることを確立している。波動方程式を径方向および角方向の常微分方程式に分離することで、一般化されたWeyl-Titchmarsh関数と複素角運動量法を用いて1次元逆問題に帰着させ、固定エネルギー散乱データのもとで一意性を証明した。

ABSTRACT

In this paper, we study an inverse scattering problem on Liouville surfaces having two asymptotically hyperbolic ends. The main property of Liouville surfaces consists in the complete separability of the Hamilton-Jacobi equations for the geodesic flow. An important related consequence is the fact that the stationary wave equation can be separated into a system of a radial and angular ODEs. The full scattering matrix at fixed energy associated to a scalar wave equation on asymptotically hyperbolic Liouville surfaces can be thus simplified by considering its restrictions onto the generalized harmonics corresponding to the angular separated ODE. The resulting partial scattering matrices consists in a countable set of $2 \ imes 2$ matrices whose coefficients are the so called transmission and reflection coefficients. It is shown that the reflection coefficients are nothing but generalized Weyl-Titchmarsh functions for the radial ODE in which the generalized angular momentum is seen as the spectral parameter. Using the Complex Angular Momentum method and recent results on 1D inverse problem from generalized Weyl-Titchmarsh functions, we show that the knowledge of the reflection operators at a fixed non zero energy is enough to determine uniquely the metric of the asymptotically hyperbolic Liouville surface under consideration.

研究の動機と目的

• 漸近的に双曲的で2つの端を持つLiouville表面における固定エネルギー散乱問題を解く。
• 単一の非ゼロエネルギーにおける散乱データが、元のRiemann計量を一意に決定できるかどうかを特定する。
• 角方向分離とスペクトル理論を用いて、全逆問題を径方向常微分方程式の1次元逆問題に還元する。
• 一般化されたWeyl-Titchmarsh関数と複素角運動量法を用いて、反射作用素からの計量再構成の一意性を確立する。

提案手法

• Liouville表面構造を用いて、定常波動方程式を径方向および角方向の常微分方程式に分離する。
• 全散乱行列を一般化された調和関数に対応する可算個の2×2部分散乱行列の集まりとして表現する。
• 反射係数を、一般化された角運動量をスペクトルパラメータとする径方向常微分方程式の一般化されたWeyl-Titchmarsh関数として同定する。
• 複素角運動量（CAM）法を用いて、複素平面における散乱データの解析的性質を分析する。
• Phragmen-LindelöfおよびLiouvilleの定理を用いて、散乱データが径方向ポテンシャルを一意に決定することを証明する。
• 最近の1次元逆問題に関する一般化されたWeyl-Titchmarsh関数からの結果を活用し、反射データから全計量を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に双曲的で2つの端を持つLiouville表面の計量は、固定非ゼロエネルギーにおける散乱行列の反射係数から一意に特定可能か？
• RQ2 単一エネルギーにおける散乱データは、分離された波動方程式の径方向ポテンシャルを一意に再構成可能か？
• RQ3 一般化されたWeyl-Titchmarsh関数は、径方向散乱データと逆問題を結びつける役割を果たすか？
• RQ4 複素角運動量法は、非コンパクトで特異なRiemann多様体上での逆問題に効果的に適用可能か？
• RQ5 固定エネルギーにおける透過作用素も、計量の一意的再構成に十分か？あるいは、同スペクトル的だが同相でない表面が存在するか？

主な発見

• 固定非ゼロエネルギー $ \theta \neq 0 $ における反射作用素 $ L(\theta) $ や $ R(\theta) $ の知識が、漸近的に双曲的Liouville表面の計量を一意に決定する。
• 反射係数は、一般化された角運動量 $ \mu^2 $ をスペクトルパラメータとする径方向常微分方程式の一般化されたWeyl-Titchmarsh関数として同定される。
• 複素角運動量法を用いることで、著者らは散乱データが型 $ \frac{1}{2} $ の整関数であることを証明し、古典的複素解析手法の適用を可能にした。
• 特性関数 $ \Delta_q(\mu^2) $ が $ \mu \to \pm\infty $ において漸近的挙動を示すことで、径方向ポテンシャル $ q(x) $ が散乱データから一意に回復可能であることが示された。
• 証明は、散乱データから導かれる関数 $ P_{11}(x,\mu^2) $ および $ P_{12}(x,\mu^2) $ が整関数かつ有界であるため、定数関数であることに依拠しており、これにより $ P_{11} = 1 $、$ P_{12} = 0 $ が得られ、解の一意性が結論づけられる。
• 未解決問題として提示された：固定エネルギーにおける透過作用素 $ T_L(\theta) $ や $ T_R(\theta) $ も計量を一意に決定するか？同スペクトル的だが同相でないポテンシャルが存在する可能性があるとの予想が提示されている。