[論文レビュー] Inverse scattering transforms for the focusing and defocusing mKdV equations with nonzero boundary conditions

Guoqiang Zhang, Zhenya Yan|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 49被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非零境界条件（NZBCs）を有する集束型および非集束型修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程式に対して、行列Riemann-Hilbert問題を用いて厳密な逆散乱変換（IST）を構築する。均一化変数を導入することで、複素平面上における直接および逆散乱問題を再定式化し、再構成公式、トレース公式、θ条件を導出し、単純および二重極を有する一般解（反射なしポテンシャルおよび異なる波構造を有するソリトン相互作用を含む）を明示的に構成する。

ABSTRACT

We explore systematically a rigorous theory of the inverse scattering transforms with matrix Riemann-Hilbert problems for both focusing and defocusing modified Korteweg-de Vries (mKdV) equations with non-zero boundary conditions (NZBCs) at infinity. Using a suitable uniformization variable, the direct and inverse scattering problems are proposed on a complex plane instead of a two-sheeted Riemann surface. For the direct scattering problem, the analyticities, symmetries and asymptotic behaviors of the Jost solutions and scattering matrix, and discrete spectra are established. The inverse problems are formulated and solved with the aid of the Riemann-Hilbert problems, and the reconstruction formulae, trace formulae, and theta conditions are also found. In particular, we present the general solutions for the focusing mKdV equation with NZBCs and both simple and double poles, and for the defocusing mKdV equation with NZBCs and simple poles. Finally, some representative reflectionless potentials are in detail studied to illustrate distinct wave structures for both focusing and defocusing mKdV equations with NZBCs.

研究の動機と目的

• 集束型および非集束型mKdV方程式に対して、非零境界条件（NZBCs）を有する完全かつ厳密な逆散乱変換理論を確立すること。
• 従来の研究が積分方程式に依存していたり、完全な正則性および対称性解析が欠落していたという制限を克服すること。
• 適切な均一化変数を用いた行列Riemann-Hilbert問題を用いて逆問題を定式化・解明し、二枚のリーマン面を避けること。
• 集束型および非集束型の両ケースに対して、明示的な再構成公式、トレース公式、θ条件を導出すること。
• 単純および二重極を有する一般解（反射なしポテンシャルを含む）を構成し、それらの動的波動構造を解析すること。

提案手法

• 直接散乱問題は、Jost解および散乱行列を用いて分析され、均一化変数を介して複素平面上での正則性、対称性、漸近的挙動が確立される。
• 逆問題は行列Riemann-Hilbert問題を用いて定式化され、散乱データからポテンシャルの再構成が可能になる。
• 従来のGel’fand-Levitan-Machenko積分方程式を避ける代わりに、非零背景および複雑なスペクトル構造を扱うためにRiemann-Hilbert技法を用いる。
• Jost関数および散乱行列の正則性および対称性の性質が、厳密に導出され、離散スペクトルおよびNZBCs下での挙動を含む。
• 集束型および非集束型mKdV方程式に適用可能な再構成公式、トレース公式、θ条件が体系的に導出される。
• 反射なしポテンシャルに適用可能な明示的解が、単純および二重極を有する場合について構成され、kink、ダーク、ブライト、ブレザー・ソリトンを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集束型mKdV方程式に対して、積分方程式ではなく行列Riemann-Hilbert問題を用いて、一般の逆散乱変換を定式化できるか？
• RQ2 理論が、集束型mKdV方程式に適用可能な、共役複素数および純虚数の両方の離散スペクトル（例：N1-ブレザー-N2-ソリトン解）を有する一般解を支持するか？
• RQ3 集束型mKdV方程式に適用可能な、混合スペクトル型を有する二重極解を体系的に導出できるか？
• RQ4 非集束型mKdV方程式に適用可能な厳密な逆散乱理論は存在するか？（従来の文献ではほとんど未解決の分野である。）
• RQ5 集束型および非集束型mKdV方程式において、非零境界条件下で、kink、ダーク、ブライト、ブレザー・ソリトンといった異なるソリトン波動構造がどのように発生し、相互作用するか？

主な発見

• 集束型mKdV方程式に非零境界条件を有する場合、単純極を有する一般解がRiemann-Hilbert問題を用いて導出され、共役複素数および純虚数の両方の離散スペクトルを有する場合を含む。
• 集束型mKdV方程式に非零境界条件を有する場合、二重極解が明示的に構成され、共役複素数および純虚数の両方のスペクトルデータを有する解が含まれる。
• 非集束型mKdV方程式に非零境界条件を有する場合、単純極を有する一般解が導出され、ダークおよびキント・ソリトンを有する反射なしポテンシャルを含む。
• 非集束型mKdV方程式に非零境界条件を有する1ソリトン解は、残留条件 $ aq_{-} > 0 $ の場合にダーク・ソリトンを示し、$ aq_{-} < 0 $ の場合には特異解を示す。特異性は時間経過とともにキント・ソリトンの異なる分岐上に現れる。
• N=2の場合に2つのダーク・ソリトン間の弾性的相互作用が観測され、振幅および位置の順序が時間経過とともに反転する。これは安定で放射しない力学的挙動を示す。
• キント・ソリトン、ダーク・ソリトン、特異解間の相互作用が動的に可視化され、特異点が時間経過とともにキント・ソリトンの一方の分岐から他方の分岐へ移動することが示され、スペクトル構造と整合的である。