[論文レビュー] Inverse source problems in transport via attenuated tensor tomography

Guillaume Bal, François Monard|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可変屈折率を有する単純なリーマン多様体上での放射輸送における逆源問題について、減衰テンソルトモグラフィーを用いて、可逆性およびゲージに関する可逆性を確立する。多項式的角依存性を有する源に対して構成的逆問題の公式を提供し、有限の調和成分を持つ散乱核へと結果を拡張する。

ABSTRACT

We establish results for the injectivity and injectivity modulo gauge of certain inverse source problems in transport on a simply connected domain with variable index of refraction inducing a 'simple geometry'. The model given by radiative transfer involves a scattering kernel with finite harmonic content in the deviation angle. The results on injectivity are constructive, and they are connected to the explicit inversion (modulo kernel) of the attenuated X-ray transform on tensor fields on simple Riemannian surfaces.

研究の動機と目的

• 可変屈折率および散乱効果を伴う放射輸送における逆源問題に取り組む。
• 境界測定値から源関数が一意に再構成可能となる条件を特定する。
• 可逆性が成立しない場合の、特に多項式的角依存性を有する源に対して、逆問題の核（ゲージ）を特徴付ける。
• 減衰X線トモグラフィーからの明示的再構成手法を、散乱を含む完全な輸送モデルへと拡張する。
• 散乱核の小規模仮定を、角方向の偏差における有限の調和成分条件に置き換える

提案手法

• 最近の減衰テンソルトモグラフィーの進展を活用し、テンソル場における減衰X線トモグラフィーをコアな逆問題手法として用いる。
• 複素解析的技法および正則的積分因子を用いて、散乱を伴う輸送方程式を解く。
• 解および源を角方向のフーリエモード（H₀, H₁, など）に分解することで、調和成分ごとに問題を分析する。
• ゲージ固定手順を実装し、核にモジュロして一意に定まる源の代表元を再構成する。
• 初期データがゼロである輸送方程式 (X + a)u = Su + f を用い、定理15により再帰的次数低減を導出する。
• エネルギー恒等式および楕円型正則性を用いて、再構成されたポテンシャルから源を回復する。特に0次および1次成分に対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散乱核が有限の調和成分を持つ場合、放射輸送方程式の逆源問題が可逆性を示す条件は何か？
• RQ2 源関数 f が多項式的角依存性を有する場合、境界測定値 u|Γ₊ から f を明示的に再構成する方法は何か？
• RQ3 可逆性が成立しない場合の逆問題の核（すなわちゲージ）の構造は何か？ そして、その特徴付けは可能か？
• RQ4 散乱核の小規模仮定を、角方向の偏差における有限の調和成分条件に置き換えることは可能か？
• RQ5 散乱を伴う完全な輸送方程式を解かずに、再構成手順を効率的かつ数値的に安定にする程度はどの程度か？

主な発見

• 散乱核 k が有限の調和成分を持つ場合、源 f = f₀ + f₁（0次および1次）に対して逆源問題は可逆であり、解は明示的に再構成可能である。
• 高次元の源に対しては可逆性が成立せず、核は f = (X + a − S)p を満たすような p ∈ W¹,²₀(M)（次数 m−1）が存在する源 f の集合として特徴付けられる。
• 再構成手順は安定的かつ効率的であり、微分演算や反復的散乱解法を一切用いず、自由輸送の解法のみを含む。
• 本手法はテンソル場における減衰X線トモグラフィーに対する完全な構成的逆問題を提供し、一意性を保証するためのゲージ固定を実行する。
• ユークリッドの円板においては、明示的再構成公式が得られ、散乱のない既存の結果を一般化する。
• f₀およびf₁の解は、ノイマン境界条件およびモーメント方程式から導かれる2階の楕円型偏微分方程式により、一意に決定される。