[論文レビュー] Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials, II. Reconstruction by two spectra

Rostyslav Hryniv, Ya. V. Mykytyuk|ArXiv.org|Jan 18, 2003

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$W^{-1}_2(0,1)$ 内の特異的ポテンシャルを持つスツルム＝リウヴィル作用素の逆スペクトル問題を、二つのスペクトルからポテンシャルおよび境界条件を再構成することによって解決する。固有値の漸近挙動とノルム定数を用い、二つの列が同様の作用素のスペクトルであるための必要十分条件を確立し、再構成アルゴリズムを提示する。ポテンシャルの表現の非一意性にもかかわらず、ポテンシャルおよび作用素の一意性を証明する。

ABSTRACT

We solve the inverse spectral problem of recovering the singular potentials $q\in W^{-1}_{2}(0,1)$ of Sturm-Liouville operators by two spectra. The reconstruction algorithm is presented and necessary and sufficient conditions on two sequences to be spectral data for Sturm-Liouville operators under consideration are given.

研究の動機と目的

• 特異的ポテンシャル $q = \sigma'$ を $W^{-1}_2(0,1)$ から二つのスペクトルを用いて回復する逆スペクトル問題を解く。
• 同じ特異的ポテンシャルだが異なる境界条件を有するスツルム＝リウヴィル作用素の二つの固有値列がスペクトルであるための必要十分条件を特定する。
• 二つのスペクトルからポテンシャル $\sigma$ および境界条件パラメータ $h_1, h_2$ を再構成するアルゴリズムを開発する。
• ポテンシャル $q = \sigma'$ および作用素 $T(\sigma, H, h_1)$, $T(\sigma, H, h_2)$ が、$\sigma$ の非一意性にもかかわらず二つのスペクトルによって一意に決定されることを示す。

提案手法

• $x=0$ でディリクレ条件、$x=1$ でロビン型境界条件を有する作用素に対する洗練された固有値漸近挙動を利用する。
• 固有値およびノルム定数を含むスペクトルデータを適用し、先行研究 [11] におけるスペクトルデータを用いた逆問題の結果を活用する。
• 二スペクトル問題を、スペクトルとノルム定数からポテンシャルおよび境界条件を回復する古典的逆問題に還元する。
• $L_2(0,1)$ 内の正弦・余弦系のリース基底理論を用い、スペクトル漸近挙動を分析し、双対正規直交系を構成する。
• 固有値の漸近展開を導出し、差分推定を用いてスペクトルギャップと境界条件パラメータとの関係を確立する。
• 積分恒等式および $L^2$-ノルム推定を用い、スペクトル差とポテンシャル・境界パラメータとの関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じポテンシャルを持つが $x=1$ における境界条件が異なるスツルム＝リウヴィル作用素の二つのスペクトルから、$W^{-1}_2(0,1)$ 内の特異的ポテンシャル $q = \sigma'$ を一意に再構成できるか？
• RQ2 二つの固有値列がこのような作用素のスペクトルであるための必要十分条件は何か？
• RQ3 二つのスペクトルからポテンシャル $\sigma$ および境界条件パラメータ $h_1, h_2$ をどのようにアルゴリズム的に再構成できるか？
• RQ4 なぜ $\sigma$ の非一意性にもかかわらず、ポテンシャル $q = \sigma'$ および作用素 $T(\sigma, H, h_1)$, $T(\sigma, H, h_2)$ が二つのスペクトルによって一意に決定されるのか？
• RQ5 一つの境界条件がディリクレ（$h = \infty$）である場合と有限である場合とで、固有値の漸近挙動はどのように異なるか？

主な発見

• ポテンシャル $q = \sigma'$ および作用素 $T(\sigma, H, h_1)$, $T(\sigma, H, h_2)$ は、$\sigma$ が一意でないにもかかわらず二つのスペクトルによって一意に決定される。
• 二つの列 $(\lambda_n^2)$, $(\mu_n^2)$ がスペクトルであるための必要十分条件は：交互性、漸近挙動 $\lambda_n = \pi(n-1) + \widetilde{\lambda}_n$, $\mu_n = \pi(n-1) + \widetilde{\mu}_n$（$\\\ell_2$ 列 $\widetilde{\lambda}_n, \widetilde{\mu}_n$ を満たす）、および $\lambda_n - \mu_n = \frac{h}{\pi n} + \frac{\nu_n}{n}$（$\\\ell_2$ 列 $\nu_n$ を満たす）である。
• 一つの境界条件がディリクレ（$h_2 = \infty$）である場合、漸近挙動は $\mu_n = \pi(n - 1/2) + \widetilde{\mu}_n$ に変化し、条件 (3) が省かれる。
• 再構成アルゴリズムは、ノルム定数を用いることで二スペクトル問題を古典的逆問題に還元し、著者らの先行研究 [11] で完全に解決済みの問題に帰着する。
• スペクトルデータ（固有値およびノルム定数）は、ポテンシャル $\sigma \in L_2(0,1)$ および境界条件 $h_1, h_2 \in \mathbb{R}$ を一意に決定する。
• 本稿は、与えられたスペクトル条件下で固有関数系がリース基底をなすことを確立し、双対正規直交展開による安定な再構成が可能であることを示している。