[論文レビュー] Inverse theorems in the theory of approximation of vectors in a Banach space with exponential type entire vectors

Ya. I. Grushka|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2008

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非擬解析的作用素 A に関するバナッハ空間内のベクトルの滑らかさ、指数型整値ベクトルによる最良近似の速度、および k-連続性モジュラスとの間の逆定理を確立する。作用素 A の生成子に関連するスペクトル部分空間が、型 ≤σ の指数型整値ベクトルの空間と一致することを示し、これによりベルンシュタイン型不等式が得られ、重み付き Lp 空間への近似結果の一般化が可能になる。

ABSTRACT

Arbitrary operator A on a Banach space X which is the generator of C_0-group with certain growth condition at infinity is considered. The relationship between its exponential type entire vectors and its spectral subspaces is found. Inverse theorems on connection between the degree of smoothness of vector $x\in X$ with respect to operator A, the rate of convergence to zero of the best approximation of x by exponential type entire vectors for operator A, and the k-module of continuity are established. Also, a generalization of the Bernstein-type inequality is obtained. The results allow to obtain Bernstein-type inequalities in weighted L_p spaces.

研究の動機と目的

• 非擬解析的作用素 A に関するバナッハ空間内のベクトルの滑らかさと、それらの指数型整値ベクトルによる最良近似の収束速度との間の逆定理を確立すること。
• 型 ≤σ の指数型整値ベクトルの集合が、非擬解析的作用素 A の生成子に関連するスペクトル部分空間と一致することを証明すること。
• ベルンシュタイン型不等式を重み付き Lp 空間に一般化すること。
• 重み付き Lp 空間における近似速度を推定するための枠組みを提供すること。この枠組みでは、k-連続性モジュラスと K-機能の同値性を用いる。

提案手法

• クプツォフが導入し、トレケヒンによって拡張された、バナッハ空間における C0 群の一般化された連続性モジュラスの使用。
• 型 ≤σ の指数型整値ベクトルの空間と、非擬解析的作用素 A のスペクトル部分空間との同値性の確立。
• 滑らかさと近似挙動を分析するためのスペクトル理論および C0 群理論の応用。
• 群の成長条件とスペクトル部分空間の特徴付けを用いて、ベルンシュタイン型不等式を導出すること。
• パレ-ウィーナの定理とフーリエ変換技法を用いて、重み付き Lp 空間における整値ベクトルの特徴付け。
• 整値ベクトルの空間における帰納的極限位相の応用および重み付き Lp 空間におけるノルム推定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間内のベクトルの滑らかさと、それらの指数型整値ベクトルによる最良近似との関係は、k-連続性モジュラスを介してどのように規定されるか？
• RQ2 型 ≤σ の指数型整値ベクトルの集合が、生成子 A のスペクトル部分空間と一致する条件は何か？
• RQ3 スペクトル部分空間構造を用いて、ベルンシュタイン型不等式を重み付き Lp 空間に一般化できるか？
• RQ4 非擬解析的 C0 群の文脈において、K-機能と連続性モジュラスの関係は何か？
• RQ5 重み付き Lp 空間における近似速度は、関数の滑らかさと重み関数にどのように依存するか？

主な発見

• 型 ≤σ の指数型整値ベクトルの空間は、非擬解析的 C0 群の生成子 A に関連するスペクトル部分空間と一致する。
• Lp(R, μp) に属する関数 f に対する、指数型整値ベクトルによる最良近似は、指数型整値関数による最良近似に等しい。
• f ∈ Lp(R, μp) ∩ Bσ かつ σ ≥ 1 のとき、任意の n ∈ N および σ や f に依存しない定数 cn に対して、不等式 ‖f(n)‖Lp(μp) ≤ cnσn‖f‖Lp(μp) が成り立つ。
• 最良近似が 𝒟r(f) ≤ m/rn ω(1/r) (r ≥ 1) を満たすならば、f ∈ Wpn(R, μp) であり、f(n) の k 階連続性モジュラスは、ω を含む積分表現によって有界である。
• 先行研究における一般化されたジャクソン型不等式が、スペクトル部分空間の特徴付けを用いて重み付き Lp 空間に拡張された。
• 重み μ(t) が t > t0 に対して μ(t) ≥ 1 + R|t| を満たす場合、逆埋め込み Ξσ(A) ⊂ Bσ ∩ Lp(R, μp) が成り立ち、可積分性が保証され、パレ-ウィーナ型の議論が可能になる。