[論文レビュー] Inverse theta functions as quantum modular forms

|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、これまで未発表の負のインデックスを持つメラモーフィック・ヤコビ形式のフーリエ係数を、リー超代数理論と楕円関数技法を用いて調査する。これらの係数は部分トーティエ函数に分解され、新たなランク・クランク型偏微分方程式の族を明らかにするとともに、内在的なモジュラー性を持つ新しいクラスの量子モジュラー部分トーティエ函数を導入する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Fourier coefficients of a special class of meromorphic Jaocbi forms of negative index. Much recent work has been done on such coefficients in the case of Jacobi forms of positive index, but almost nothing is known for Jacobi forms of negative index. In this paper we show, from two different perspectives, that their Fourier coefficients have a simple decomposition in terms of partial theta functions. The first perspective uses the language of Lie super algebras, and the second applies the theory of elliptic functions. In particular, we find a new infinite family of rank-crank type PDEs generalizing the famous example of Atkin and Garvan. We then describe the modularity properties of these coefficients, showing that they are mixed partial theta functions, along the way determining a new class of quantum modular partial theta functions which is of independent interest.

研究の動機と目的

• 正のインデックス形式についての広範な研究とは対照的に、未だほとんど調査の進んでいない負のインデックスを持つメラモーフィック・ヤコビ形式のフーリエ係数を調査すること。
• 2つの異なる数学的枠組みを通じて、これらの係数が部分トーティエ函数に分解されることを確立すること。
• アトキンとガーバンのランク・クランク偏微分方程式を一般化し、そのような方程式の無限族を構成すること。
• 係数のモジュラー性を特徴づけ、それらが混合部分トーティエ函数であることを同定すること。
• 独立的に興味深い新しいクラスの量子モジュラー部分トーティエ函数を導入し、それらを研究すること。

提案手法

• 負のインデックスを持つヤコビ形式のフーリエ係数の構造を分析するために、リー超代数の表現論を用いる。
• 同じ係数分解の別導出を可能にするために、楕円関数論を適用する。
• 生成関数とトーティエ函数の恒等式を用いて、係数を部分トーティエ函数の組み合わせとして表現する。
• 係数構造から、新たな無限族のランク・クランク型偏微分方程式を導出する。
• モジュラー群における変換法則を用いてモジュラー性を分析し、量子モジュラー性を同定する。
• 係数が部分トーティエ函数から構成される新しいクラスの量子モジュラー形式を形成することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 これまでの研究がほとんどない状況において、負のインデックスを持つメラモーフィック・ヤコビ形式のフーリエ係数はどのように振る舞うか？
• RQ2 これらの係数は部分トーティエ函数で表現可能か？ もしそうならば、どのような数学的構造を通じてか？
• RQ3 これらの係数の母関数を支配する微分方程式はどのようなものか？ また、アトキン＝ガーバンの偏微分方程式をどのように一般化するか？
• RQ4 これらの係数のモジュラー性は何か？ そして、量子モジュラー形式とどのように関係するか？
• RQ5 これらの係数は、新たな内在的性質を持つ量子モジュラー部分トーティエ函数のクラスを生じるか？

主な発見

• 負のインデックスを持つメラモーフィック・ヤコビ形式のフーリエ係数は、部分トーティエ函数に明確に分解され、隠れた代数的構造が明らかになる。
• アトキンとガーバンの古典的例を一般化する、ランク・クランク型偏微分方程式の無限族が構成される。
• 係数は量子モジュラー性を示し、新たなクラスの量子モジュラー部分トーティエ函数を形成する。
• これらの係数のモジュラー性は、モジュラー成分と非モジュラー成分を含む変換法則を通じて確立される。
• リー超代数と楕円関数の二重アプローチが一貫した結果をもたらし、分解の妥当性とその含意を検証する。
• 研究により、これまで未知であった、内在的な算術的意義を有する量子モジュラー形式の新たなクラスが同定された。