[論文レビュー] Inverse transfer of self-similar decaying turbulent non-helical magnetic field

P. Olesen|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Solar and Space Plasma Dynamics参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、自由に減衰する非ヘリカル乱流磁場が自己相似的逆エネルギー伝達を示すことを解析的に示している。エネルギースペクトルは $\mathcal{E}_{v,B}(k,t) \propto \sqrt{t_0/t} \, \mathcal{E}_{v,B}(k\sqrt{t/t_0}, t_0)$ とスケーリングされ、エネルギーの減衰は $1/t$、積分スケールの成長は $\sqrt{t}$ となる。この結果は、非圧縮性MHD方程式が特定のスケーリング変換に対して不変であることから生じ、数値シミュレーションに依存せずに逆キャスケードが非ヘリカルMHDの一般的特徴であることが示された。

ABSTRACT

We show that decaying turbulent non-helical magnetic fields satisfy a self-similarity relation according to which the relevant scales increase as time passes (inverse cascade or inverse transfer). We compute analytically quantities which have previously been determined by numerical calculations, for example the average energy and the integral scale which are proportional to 1/t and the square root of t,respectively, where t is the time. We also briefly discuss self-similarity for the helical case.

研究の動機と目的

• 自由に減衰する非ヘリカル乱流磁場における小スケールから大スケールへのエネルギーの逆伝達を、従来は数値的にしか観測されていなかったのを、解析的に説明すること。
• 観測された $1/t$ のエネルギー減衰と $\sqrt{t}$ の積分スケール成長が、非圧縮性MHD方程式に内在する自己相似性の直接的結果であることを確立すること。
• 特に、$\mathbf{x} \to l\mathbf{x}, t \to l^2 t$, $\mathbf{v} \to \mathbf{v}/l$, $\mathbf{B} \to \mathbf{B}/l$ における不変性が、粘性と抵抗率を保つことによるMHD力学におけるスケーリング不変性の役割を明確にすること。
• ヘリカルな場合と非ヘリカルな場合を対比し、長時間にわたってヘリシティの減衰と異なるスケーリング行動が、同じ自己相似的枠組みを破壊する可能性があること。

提案手法

• 非力場の非圧縮性MHD方程式が $\mathbf{x} \to l\mathbf{x}, t \to l^2 t, \mathbf{v} \to \mathbf{v}/l, \mathbf{B} \to \mathbf{B}/l$ に対してスケーリング不変であることから、自己相似関係 $\mathcal{E}_{v,B}(k,t) = \sqrt{t_0/t} \, \mathcal{E}_{v,B}(k\sqrt{t/t_0}, t_0)$ を導出する。
• 等方的乱流のためのエネルギースペクトル定義 $\mathcal{E}_{v,B}(k,t) = \frac{2\pi k^2}{(2\pi)^3} \int d^3y \, e^{i\mathbf{ky}} \langle \mathbf{v}(\mathbf{x},t) \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x}+\mathbf{y},t) \rangle$ を用いる。
• エネルギースペクトルにスケーリング変換を適用し、関数方程式 $\mathcal{E}_{v,B}(k,t) = l \, \mathcal{E}_{v,B}(k/l, l^2 t)$ を得る。$l = \sqrt{t_0/t}$ とすることで自己相似形を回復する。
• 時間依存するモーメントの導出：$\mathcal{E}_{v,B}(t) \propto 1/t$, $\langle \xi \rangle \propto \sqrt{t}$, および高次モーメント $\langle \xi^n \rangle \propto t^{n/2}$、$\langle k^n \rangle \propto t^{-n/2}$。
• 磁気ヘリシティスペクトル $\mathcal{H}(k,t)$ を用いたヘリカルケースへの拡張により、$\mathcal{H}(k,t) = \mathcal{H}(k\sqrt{t/t_0}, t_0)$ が成り立ち、拡散下では $H(t) \propto 1/\sqrt{t}$ となることが示された。
• 先行する数値結果や、時間依存の拡散率を含む他のスケーリングアプローチとの比較を通じて、矛盾や制限を明確化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由に減衰する非ヘリカルMHD乱流におけるエネルギーの逆伝達は、MHD方程式の対称性から解析的に導出可能か？
• RQ2 このような系における全運動エネルギーおよび全磁気エネルギーの正確な時間依存性は何か？ そして自己相似性とどのように関係するか？
• RQ3 速度場および磁場の積分スケールは時間とともにどのように変化するか？ その成長を支配するスケーリング則は何か？
• RQ4 なぜ非ヘリカルMHDにおけるエネルギー減衰と積分スケール成長の数値結果が、それぞれ $1/t$ および $\sqrt{t}$ と一致するのか？ そして、これを厳密に正当化できるか？
• RQ5 磁気ヘリシティが存在する場合、特にヘリシティがほぼ保存される場合、自己相似的挙動はどの程度破綻するのか？

主な発見

• 速度場および磁場のエネルギースペクトルは、自己相似関係 $\mathcal{E}_{v,B}(k,t) = \sqrt{t_0/t} \, \mathcal{E}_{v,B}(k\sqrt{t/t_0}, t_0)$ を満たす。これは、非力場MHD方程式のスケーリング不変性に起因する直接的結果である。
• 全エネルギーは $\mathcal{E}_{v,B}(t) \propto 1/t$ と減衰する。これは自己相似性から厳密に導出され、数値的・実験的にも確認されている。
• 積分スケール $\langle \xi \rangle$ は $\sqrt{t}$ と成長し、エネルギーが大スケールへ逆キャスケードしていることを示している。
• 積分スケールの高次モーメントは $\langle \xi^n \rangle \propto t^{n/2}$ とスケーリングされ、$\langle \xi^2 \rangle \propto t$ および $\langle \xi^3 \rangle \propto t^{3/2}$ となる。これは自己相似的ダイナミクスと整合的である。
• 磁気ヘリシティスペクトル $\mathcal{H}(k,t)$ は $\mathcal{H}(k,t) = \mathcal{H}(k\sqrt{t/t_0}, t_0)$ を満たし、全ヘリシティは $H(t) \propto 1/\sqrt{t}$ と減衰する。これはエネルギーの減衰より遅い。
• 逆キャスケードは非ヘリカルMHD乱流の一般的特徴であり、方程式のスケーリング対称性に起因する。初期ヘリシティや外部駆動力の存在を必要としない。