[論文レビュー] Inversion of signature for paths of bounded variation

Terry Lyons, Weijun Xu|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有界変動の木削減パスをそのシグネチャから再構成する2つの手法を提示する。最初の手法は軸に沿ったパスに対して明示的な公式を提供する。2番目の手法は、元のパスに一様に収束する格子パス近似スキームを用い、シグネチャが木削減までの一意にパスを決定することを証明する。

ABSTRACT

We develop two methods to reconstruct a path of bounded variation from its signature. The first method gives a simple and explicit expression of any axis path in terms of its signature, but it does not apply directlty to more general ones. The second method, based on an approximation scheme, recovers any tree-reduced path from its signature as the limit of a uniformly convergent sequence of lattice paths.

研究の動機と目的

• シグネチャからパスを再構成する逆問題に取り組むこと、これは粗いパス理論における中心的問題である。
• 特に有界変動パスに対して、シグネチャが既知の状態でパス回復の構成的手段を提供すること。
• シグネチャが木削減までの一意にパスを決定することを確立すること、HamblyとLyonsの一意性結果を拡張すること。
• 元のパスに一様に収束する計算的に実行可能な近似スキームを開発すること。
• ステップサイズが0に近づく格子パスの系列を用いて、シグネチャの逆問題が漸近的に正確に解けることを証明すること。

提案手法

• 最初の手法：軸に沿ったパスをそのシグネチャ成分から直接再構成する明示的代数的表現を用いる。
• 2番目の手法：ステップサイズが1/2^N である格子パスの系列を構築し、元のパスに一様に近づける。
• 各レベルNで有限個の候補しか存在しないように保証するため、パス長に一様な上限（≤ L）を導入し、アルゴリズム的探索を可能にする。
• パスの長さの一様有界性と等連続性の議論を用いて、収束する格子パスの部分列を抽出する。
• シグネチャ成分の収束（X^n(γ̂^(N)) → X^n(γ̂)）を用いて、極限パスが元のパスと同じシグネチャを持つことを示す。
• HamblyとLyonsの一意性定理に依拠：2つのパスが同じシグネチャを持つならば、それらは木削減の意味で同値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界変動のパスは、そのシグネチャから明示的に再構成可能か？
• RQ2 パスをシグネチャから一様に再構成する構成的近似スキームは存在するか？
• RQ3 シグネチャは木削減までの一意にパスを決定するか、同値性の意味で？
• RQ4 格子パスのような離散的近似を用いて、逆問題を漸近的に解けるか？
• RQ5 ステップサイズとシグネチャ次数の観点から、近似スキームの収束速度はいかほどか？

主な発見

• 最初の手法は、任意の軸パスをそのシグネチャから明示的・閉形式で再構成可能であるが、一般のパスには拡張できない。
• 2番目の手法は、ステップサイズ1/2^N である格子パスの系列を構築し、N → ∞ のとき元の木削減パスに一様に収束する。
• 近似格子パスのシグネチャは元のパスのシグネチャに収束し、誤差は3d·(3L)^{n-1}/(2^N·(n-1)!) で有界であり、明示的な収束速度が得られる。
• 一様収束する部分列の極限が、長さとシグネチャが一致するため、元のパス γ に等しいことが示される。
• 収束は一様的かつ漸近的に正確である：格子パス系列の任意の部分列が同じ極限パス γ に収束する。
• シグネチャ成分の誤差の上限を n に比例するようには改善できないことが、1次元線形パスの反例によって示された。