[論文レビュー] Invertibility of convolution operators on homogeneous groups

Paweł Głowacki|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、同次Lie群上の畳み込み作用素の可逆性を確立する。具体的には、$ S^0(\frak{g}) $ の零次記号類に属する作用素が $ L^2(\frak{g}) $ 上で可逆であるならば、その逆作用素の核も $ S^0(\frak{g}) $ に属することを証明する。この結果は、メリンによるストラティファイド群上のロッカンド作用素に対するパラメトリクス構成を、一般の同次群へと一般化したものであり、$ S^m(\frak{g}) $ のクラスに基づく洗練された記号計算と補助的なアクリティブ核を用いる。

ABSTRACT

We say that a tempered distribution $A$ belongs to the class $S^m(\Ge)$ on a homogeneous Lie algebra $\Ge$ if its Abelian Fourier transform $a=\hat{A}$ is a smooth function on the dual $\Ges$ and satisfies the estimates $$ |D^αa(ξ)|\le C_α(1+|ξ|)^{m-|α|}. $$ Let $A\in S^0(\Ge)$. Then the operator $f\mapsto f\star\widetilde{A}(x)$ is bounded on $L^2(\Ge)$. Suppose that the operator is invertible and denote by $B$ the convolution kernel of its inverse. We show that $B$ belongs to the class $S^0(\Ge)$ as well. As a corollary we generalize Melin's theorem on the parametrix construction for Rockland operators.

研究の動機と目的

• 同次Lie群上の畳み込み作用素の記号計算におけるギャップを埋める。
• 可逆な $ L^2 $-有界畳み込み作用素 $ A \in S^0(\frak{g}) $ の逆核 $ B $ が $ S^0(\frak{g}) $ に属することを示す。
• ストラティファイド群に限らない一般の同次群へのロッカンド作用素に対するメリンのパラメトリクス構成を一般化する。
• Folland-Steinの既知の性質と新規の記号計算のみを用いて、ロッカンド作用素の直接的パラメトリクス構成を提供する。

提案手法

• $ S^m(\frak{g}) $ の記号類を、核のフーリエ変換に関する滑らかさと同次ノルムの推移的推定によって定義する。
• $ S^0(\frak{g}) $ に属する作用素が $ L^2(\frak{g}) $ 上に有界作用素として拡張されることを有界性定理により保証する。
• 逆作用素の構成に用いる補助的なアクリティブな同次核 $ P^m $ と関連する作用素 $ V_1^m $ を導入し、楕円的作用素を構成する。
• 漸近級数 $ B \approx \sum_{k=1}^\infty B_1^k $ を用いてパラメトリクスを構成する。ここで $ B_1 $ は $ A + \delta_0 $ の逆である。
• $ S^{-m} $-核を有する正の作用素が下界推定 $ \|f \star A\| + \|f\| \geq C\|f \star P^m\| $ を満たすことに着目し、パラメトリクスを特徴付ける。
• 記号計算を用いて、$ S^0 $-作用素の逆核 $ B $ が $ S^0 $ に属することを、合成および有界性の性質を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な畳み込み作用素 $ A \in S^0(\frak{g}) $ の逆作用素が $ S^0(\frak{g}) $ に属するための条件は何か？
• RQ2 ロッカンド作用素に対するメリンのパラメトリクス構成は、非ストラティファイドな同次群へと拡張可能か？
• RQ3 記号類 $ S^m(\frak{g}) $ に属する作用素のパラメトリクス構成において、アクリティブ核 $ P^m $ が果たす役割は何か？
• RQ4 $ S^m(\frak{g}) $ 上の記号計算は、$ S^{m,s} $-クラスに依存せずに、どのように直接的なパラメトリクス構成を可能にするか？

主な発見

• 作用素 $ A \in S^0(\frak{g}) $ で、畳み込み作用素 $ f \mapsto f \star \widetilde{A} $ が $ L^2(\frak{g}) $ 上で可逆であるならば、その逆核 $ B $ は $ S^0(\frak{g}) $ に属する。
• 任意の同次群上でのロッカンド作用素のパラメトリクスは存在し、$ S^{-m}(\frak{g}) $ に属する。これはメリンの結果を一般化する。
• 正の作用素 $ A \in S^m(\frak{g}) $ がパラメトリクスを持つための必要十分条件は、すべての $ f \in \mathcal{S}(\frak{g}) $ に対して推定 $ \|f \star A\| + \|f\| \geq C\|f \star P^m\| $ が成り立つことである。
• 逆作用素は、$ B \approx \sum_{k=1}^\infty B_1^k $ という漸近級数により構成され、ここで $ B_1 $ は $ A + \delta_0 $ の逆である。
• Folland-Steinの既知の性質と $ S^m $-記号計算のみを用いて、ロッカンド作用素の直接的パラメトリクス構成が可能であり、メリンの $ S^{m,s} $-クラスに依存しない。
• $ S^0(\frak{g}) $ のクラスは $ L^2 $-有界作用素の下で可逆性について閉じており、ノンアーベルな可換群上の完全な擬微分作用素計算のための重要な性質を確立する。