[論文レビュー] Invertible Topological Field Theories

Christopher Schommer‐Pries|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Madsen-Tillmann スペクトラムの (n−d)-連結被覆のコホロロジーとびずいの対応関係を示すことにより、接続構造 (X,ξ) を持つ d 次元の可逆的トポロジカル場理論を分類する。この分類は、Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss や Bökstedt-Madsen の先行結果を一般化する形で、(∞,n)-圏の d-バーディズムの分類空間を E∞-空間として Ω^{∞−n}MTξ と特定することによって達成される。

ABSTRACT

A $d$-dimensional invertible topological field theory is a functor from the symmetric monoidal $(\infty,n)$-category of $d$-bordisms (embedded into $\mathbb{R}^\infty$ and equipped with a tangential $(X,ξ)$-structure) which lands in the Picard subcategory of the target symmetric monoidal $(\infty,n)$-category. We classify these field theories in terms of the cohomology of the $(n-d)$-connective cover of the Madsen-Tillmann spectrum. This is accomplished by identifying the classifying space of the $(\infty,n)$-category of bordisms with $Ω^{\infty-n}MTξ$ as an $E_\infty$-spaces. This generalizes the celebrated result of Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss in the case $n=1$, and of Bokstedt-Madsen in the $n$-uple case. We also obtain results for the $(\infty,n)$-category of $d$-bordisms embedding into a fixed ambient manifold $M$, generalizing results of Randal-Williams in the case $n=1$. We give two applications: (1) We completely compute all extended and partially extended invertible TFTs of dimension $d \leq 4$ with target a certain category of $n$-vector spaces (for $n \leq 4$), and (2) we use this to give a negative answer to a question raised by Gilmer and Masbaum.

研究の動機と目的

• 拡張された (∞,n)-圏的枠組みにおいて、(X,ξ)-構造を備えた d 次元の可逆的トポロジカル場理論を分類すること。
• バーディズム圏の分類空間に関する Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss の定理を、一般の n および可逆的 TFT へと一般化すること。
• Randal-Williams による埋め込み多様体上のバーディズム圏に関する結果を、(∞,n)-圏的設定へと拡張すること。
• n ≤ 4 の場合に、n-ベクトル空間の圏をターゲットとする、拡張型および部分的に拡張型の可逆的 TFT を完全に分類すること。
• Gilmer と Masbaum が提起した、トポロジカル場理論における特定の不変量の構造に関する疑問を解消すること。

提案手法

• Fibration ξ: X → BO(d) を通じた接続構造を備えた ℝ^∞ に埋め込まれた d-バーディズムの (∞,n)-圏を用いる。
• Segal のスキャン法を適用し、埋め込み多様体の分類空間を E∞-空間としての無限ループ空間 Ω^{∞−n}MTξ と特定する。
• n 重の Segal 空間を用いてバーディズムの (∞,n)-圏をモデル化し、この圏の幾何的実現を構成する。
• ファイバーワイズのスミス空間と E_p-オペラッドを用いて、埋め込み多様体の空間とスミス空間の間の E_p-同値を確立する。
• 特に (n−d)-連結被覆を用いた Madsen-Tillmann スペクトラム MTξ を用いて、可逆的 TFT をそのコホロロジーにより分類する。
• ホモトピー論的技法を用いて MTSO(d) の低次元ホモトピー群を計算し、オイラー特性およびシグニチャ不変量と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d 次元の可逆的トポロジカル場理論を、拡張された (∞,n)-圏的枠組みでどのように分類できるか？
• RQ2 接続構造 (X,ξ) を持つ d-バーディズムの (∞,n)-圏の分類空間は何か？ そして Madsen-Tillmann スペクトラムとどのように関係するか？
• RQ3 n=1 から一般の n へとバーディズム圏の分類を拡張できるか？ そして、Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss の結果をどのように一般化できるか？
• RQ4 d = 1, 2, 3, 4 のときの π₀MTSO(d) の構造は何か？ また、オイラー特性とシグニチャはそれらにどのように寄与するか？
• RQ5 任意の可逆的 TFT が、MTξ の (n−d)-連結被覆上のコホモロジー類から生じるか？

主な発見

• 接続構造 (X,ξ) を持つ d-バーディズムの (∞,n)-圏の分類空間は、E∞-空間として Ω^{∞−n}MTξ と同値である。
• d=1 のとき、π₀MTSO(1) ≅ ℤ/2ℤ であり、これはスペクトラムのホモトピーにおいて [S¹] = 1 であることから生じる。
• d=2 のとき、π₀MTSO(2) ≅ ℤ であり、同型は、曲面 Σ_g をそのオイラー特性を 2 で割ったもの (1−g)/2 に送る。
• d=3 のとき、π₀MTSO(3) = 0 である。これは、任意の向き付けられた 3-多様体がオイラー特性が 0 の 4-多様体の境界をなすからである。
• d=4 のとき、π₀MTSO(4) は 0 → ℤ → π₀MTSO(4) → ℤ → 0 の分解短完全列に含まれる。核は半分のオイラー特性、余核はシグニチャに対応する。
• π₀MTSO(4) ≅ ℤ⊕ℤ の明示的分解は、M ↦ (½(χ(M)+σ(M)), σ(M)) で与えられ、オイラー特性の mod 2 における曖昧さを解消する。