[論文レビュー] Investigating Steady Unconfined Groundwater Flow using Physics Informed Neural Networks

Mohammad Afzal Shadab, DingCheng Luo+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2021

Groundwater flow and contamination studies被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、物理的制約付きニューラルネットワーク（PINNs）を用いて定常非圧縮地下水の流れをモデル化する手法を提案する。Dupuit-Boussinesq方程式とDi Nucciによるより包括的な1次元流れ方程式を、実験的および解析的データと統合し、水位面のプロファイルと水中透過率を高精度に予測する。PINNsは、Dupuit-Boussinesqモデルが浸透面を捉えられないという欠陥を克服し、簡略化モデルの有効性を示す臨界次元なしパラメータΠ ≤ 0.1を同定する。

ABSTRACT

A novel deep learning technique called Physics Informed Neural Networks (PINNs) is adapted to study steady groundwater flow in unconfined aquifers. This technique utilizes information from underlying physics represented in the form of partial differential equations (PDEs) alongside data obtained from physical observations. In this work, we consider the Dupuit-Boussinesq equation, which is based on the Dupuit-Forchheimer approximation, as well as a recent more complete model derived by Di Nucci (2018) as underlying models. We then train PINNs on data obtained from steady-state analytical solutions and laboratory based experiments. Using PINNs, we predict phreatic surface profiles given different input flow conditions and recover estimates for the hydraulic conductivity from the experimental observations. We show that PINNs can eliminate the inherent inability of the Dupuit-Boussinesq equation to predict flows with seepage faces. Moreover, the inclusion of physics information from the Di Nucci and Dupuit-Boussinesq models constrains the solution space and produces better predictions than solely the training data. PINNs based predictions are very robust and show little effect from added noise in the training data. Further, we compare the PINNs obtained using the two different flow models to examine the effects of higher order flow terms, which are neglected by the Dupuit Forchheimer approximation. We found a dimensionless parameter $Π$, which is the ratio of vertical to horizontal flow effects. For $Π\leq 0.1$, Dupuit-Boussinesq approximation is found to be applicable but not otherwise. Lastly, we discuss the effectiveness of using PINNs for examining groundwater flow.

研究の動機と目的

• 非圧縮の砂層における定常状態の地下水の流れをモデル化する物理的制約付き機械学習フレームワークの開発を目的とする。
• 水圧が大気圧に達する急勾配境界で発生する浸透面を予測できないDupuit-Boussinesq方程式の固有の制限を解消することを目的とする。
• 解析的解と実験データに基づいてトレーニングされたPINNsを用いて、Dupuit-BoussinesqモデルとDi Nucciモデルの予測性能を比較することを目的とする。
• 垂直方向と水平方向の流れの効果の相対的重要性を次元なしパラメータΠ = 2q/KLを用いて定量化することを目的とする。
• 従来の透水率測定装置に依存せずに、ノイズの多い実験的データから水中透過率を推定する能力を示す。

提案手法

• PINNsは、Dupuit-BoussinesqおよびDi Nucci方程式の解析的解（物理的データ）と、1 mmおよび2 mmのビーズを用いた実験フラムからの実験的観測データの両方を用いてトレーニングされる。
• 本手法では、Dupuit-BoussinesqおよびDi Nucciモデルの支配的偏微分方程式（PDE）をニューラルネットワークの損失関数内に物理的制約として埋め込む。
• ニューラルネットワークは、データ誤差とPDEの残差の両方を最小化するように最適化され、PDEに必要な空間微分を自動微分を用いて計算する。
• 合成データを用いたスケーリングとL曲線解析により、PDE誤差の正則化パラメータを調整し、実験データへの最適な一般化を保証する。
• 水中透過率はトレーニング中に学習可能なパラメータとして逆算され、自由表面の測定値から接触を要しない推定が可能になる。
• Di Nucciモデルを用いて、垂直方向対水平方向の流れの効果の比を定量化する次元なしパラメータΠ = 2q/KLを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PINNsは、解析的解と実験データの両方を用いてトレーニングされた場合、非圧縮の砂層における水位面プロファイルを高精度に予測できるか？
• RQ2 Di Nucciモデルの物理的制約を組み込むことで、単にDupuit-Boussinesqモデルに依存する場合と比較して、特に浸透面のダイナミクスを捉える予測精度が向上するか？
• RQ3 実験データのノイズに対してPINNの予測はどれほど頑健か？物理的制約を持たない標準的なニューラルネットワークよりも優れた性能を示すか？
• RQ4 Dupuit-Boussinesq近似が破綻し、Di Nucciモデルが必要となるようになる次元なしパラメータΠ = 2q/KLの臨界閾値は何か？
• RQ5 PINNsは実験的観測データから水中透過率を効果的に逆算できるか？従来の透水率測定装置に依存しない非接触的測定手法としての可能性を示せるか？

主な発見

• PINNsは、ノイズの多い実験的入力データを用いてトレーニングされた場合でも、トレーニングおよびテストデータの両方において、水位面プロファイルを高精度に予測する。
• PINNsは、Dupuit-Boussinesqモデルの浸透面を予測できないという欠陥を解消し、境界で水位面が表面に達する物理的に整合性のある自由表面プロファイルを生成する。
• Di NucciのPDEから得られる物理的制約を組み込むことで、純粋にデータ駆動のニューラルネットワークに比べて予測精度が著しく向上し、振動的かつ物理的に不自然な結果を生じるのを防ぐ。
• 次元なしパラメータΠ = 2q/KLが臨界閾値として特定された：Π ≤ 0.1の範囲ではDupuit-Boussinesq近似が有効であり、Π > 0.1では高次の垂直方向の流れ効果を考慮する必要がある。
• 実験的データから水中透過率が高精度に逆算され、推定値が理論的入力値に近い結果を得た。これにより、接触を要しない測定手法としての可能性が示された。
• PINNsはトレーニングデータのノイズに対して強く、PDEに基づく正則化のおかげで安定かつ正確な予測を維持する。