[論文レビュー] Investigating the sign problem for two-dimensional $\mathcal{N}=(2,2)$ and $\mathcal{N}=(8,8)$ lattice super Yang--Mills theories

Richard Galvez, Simon Catterall+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2012

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本研究では、トポロジカルねじれに基づく幾何的離散化手法を用いて、2次元 $χ=(2,2)$ および $χ=(8,8)$ 格子超ヤン・ミルズ理論におけるフェルミオンの符号問題を調査した。$U(2)$ ゲージ群と非コンパクトパラメータ化を用いたシミュレーションの結果、連続極限においてペフリアン位相のフラクチュエーションが消えることが判明し、符号問題がないことを示唆した。これは、4次元における $χ=4$ SYM の非摂動的性質を研究するためのこの定式化の有効性を支持するものである。

ABSTRACT

Recently there has been some controversy in the literature concerning the existence of a fermion sign problem in the $\mathcal{N}=(2,2)$ supersymmetric Yang--Mills (SYM) theories on the lattice. In this work, we address this issue by conducting Monte Carlo simulations not only for $\mathcal{N}=(2,2)$ but also for $\mathcal{N}=(8,8)$ SYM in two dimensions for the U(N) theories with N=2, using the new ideas derived from topological twisting followed by geometric discretization. Our results from simulations provide the evidence that these theories do {\it not} suffer from a sign problem as the continuum limit is approached. These results thus boost confidence that these new lattice formulations can be used successfully to explore the nonperturbative aspects of the four-dimensional $\mathcal{N}=4$ SYM theory.

研究の動機と目的

• 2次元 $χ=(2,2)$ 格子SYMにおけるフェルミオンの符号問題の存在に関する論争を解消すること。
• 4次元 $χ=4$ SYMの次元削減から得られる $χ=(8,8)$ 理論への分析を拡張すること。
• トポロジカルねじれによる幾何的離散化が、連続極限において符号問題を解消できるかどうかを検証すること。
• 非コンパクトかつ代数的パラメータ化によるゲージ場の表現が、超対称性を保存し、符号問題を回避できるかどうかを検証すること。
• 再重みみの必要がないことを数値的証拠として提示し、信頼性の高いモンテカルロシミュレーションを可能とすること。

提案手法

• リー代数による非コンパクトなゲージ場のパラメータ化を採用し、平坦な測度を保証するとともに、経路積分における明確な超対称性を実現する。
• トポロジカルねじれと幾何的離散化を用いて、一部の超対称性を保存し、フェルミオンのダブルングを回避する格子理論を構築する。
• 真空期待値の安定化と運動項の生成を目的に、ゲージ不変な質量項 $S_M = \mu^2 \sum_x \left( \frac{1}{N} \mathrm{Tr}(\mathcal{U}_a^\dagger \mathcal{U}_a) - 1 \right)^2 $ を導入する。
• 固定された $t = \lambda\beta^2$ と増加する格子サイズ $L=2$ から $12$ まで、$U(2)$ ゲージ群上でRHMCアルゴリズムを用いてシミュレーションを実行する。
• ペフリアン位相の平均値 $\langle |\sin \alpha| \rangle $ を、符号問題の深刻さの代理指標として測定する。ここで $\alpha$ はペフリアンの位相角を表す。
• 連続極限をとるため、$t$ と $N$ を固定し、$L \to \infty$ にし、$\mu$ を調整して場のフラクチュエーションを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 $\mathcal{N}=(2,2)$ 格子SYMは連続極限においてフェルミオンの符号問題を有するか？
• RQ2 $\mathcal{N}=(8,8)$ 理論は、4次元 $\mathcal{N}=4$ SYMの次元削減から得られるが、同様に符号問題を回避するのか？
• RQ3 非コンパクトかつ代数的パラメータ化によるゲージ場表現は、ペフリアンの位相フラクチュエーションを解消できるか？
• RQ4 粗い格子でも符号問題が十分に抑制されており、再重みみなしで信頼性の高いシミュレーションが可能か？
• RQ5 ゲージ不変な質量項 $S_M$ は、$\mu \to 0$ の極限で超対称性を破らずに連続極限を安定化できるか？

主な発見

• 平均ペフリアン位相 $\langle |\sin \alpha| \rangle $ は小さく、格子サイズが増加するにつれてゼロに近づくことから、連続極限における符号問題の抑制が示唆される。
• $\mu = 0.1$ の場合、粗い格子では位相フラクチュエーションがやや顕著であるが、$L \to \infty$ に近づくと、$t=0.5$ でさえも消失する。
• $t=0.5, 1.0, 2.0$ で $\mu=0.1$ の条件下、$L=12$ では顕著な符号問題は観測されず、連続極限における符号問題の不在を支持する。
• この結果は、$\mathcal{Q}=4$ ($\mathcal{N}=(2,2)$) および $\mathcal{Q}=16$ ($\mathcal{N}=(8,8)$) の両理論、$U(2)$ ゲージ群において成り立つ。
• 非コンパクトパラメータ化を用いることで、粗い格子上でもペフリアン位相が小さく保たれ、再重みみの必要がなくなる。
• ゲージ不変な質量項 $S_M$ は超対称性を明示的に破るが、$\mu \to 0$ の極限で生存する量子補正項を生成せず、正しい連続極限を保証する。