[論文レビュー] Involutions on a surface of general type with $p_g=q=0$, $K^2=7$

Yongnam Lee, YongJoo Shin|Osaka City University (Osaka City University)|Mar 18, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p_g = q = 0$ かつ $K^2 = 7$ である一般型最小曲面上の対合によって生じる商曲面の双有理的モデルと分岐除集合を分類する。ブ low-up と特異点の解消を用いて、商曲面がエンリケス曲面に双有理同型である場合、対合は正確に 9 個の固定点を持ち、分岐除集合 $B_0$ は genus 1, 3, 4 の曲線を含み、与えられた自己自己交叉数を持つ特定の構成をとることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we study on the involution on minimal surfaces of general type with $p_g=q=0$ and $K^2=7$. We focus on the classification of the birational models of the quotient surfaces and their branch divisors induced by an involution.

研究の動機と目的

• 一般型最小曲面 $p_g = q = 0$, $K^2 = 7$ における対合によって誘導される商曲面の双有理的モデルとその分岐除集合を分類すること。
• このような曲面がエンリケス曲面に双有理同型な商を持つかどうかを、$K^2 = 1,2,3,4$ の既知の例に基づいて特定すること。
• このような商が $K^2 = 8,9$ の場合に存在しないことを排除し、未解決のケース $K^2 = 5,6,7$ に焦点を当てる。
• 特に、商曲面がエンリケス曲面に双有理同型である場合に、分岐除集合 $B_0$ の正確な構成を特定すること。
• このような曲面が 2- torsion 要素をもち、対合の下で正確に 9 個の固定点を持つことを確立すること。

提案手法

• 最小曲面 $S$、その $k$ 個の固定点でのブローアップ $V$、商 $W = S/\sigma$、および商特異点の最小解消 $\Sigma$ を含む可換図式を構成する。
• 対合 $\sigma$ の $k$ 個の孤立固定点でのブローアップ $\epsilon$ を用いて特異点を解消し、表面 $V$ と誘導写像 $\tilde{\pi}: V \to W$ を得る。
• adjunction 公式とHurwitzの公式を用いて、$R_0 = \epsilon^*(R)$ および $R$ が $S$ 上の対合 $\sigma$ の固定曲線であるときの分岐除集合 $B_0 = \tilde{\pi}(R_0)$ を分析する。
• 中間表面 $T_i$ および $\Sigma_i$ 上の交点論を用いて、$(-1)$-曲線とノードを追跡し、$B_0$ の既約成分 $\Gamma_i$ の自己自己交叉数と幾何的 genus を、$K_W^2$ の計算とともに求める。
• 結果 [6] および [8] を適用し、$K_W^2$ と $H^0(W, \mathcal{O}_W(2K_W))$ の値に基づいて、$W$ が有理曲面、適切に楕円的、一般型、またはエンリケス曲面に双有理同型かどうかを特定する。
• 固定点数 $k$ の場合（$k = 5,7,9,11$）の分類を用いて、可能な $B_0$ 構成とその幾何的不変量を体系的に列挙する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型最小曲面 $p_g = q = 0$, $K^2 = 7$ における対合が作用する場合、商曲面 $W$ 上の分岐除集合 $B_0$ の可能な構成は何か？
• RQ2 このような商曲面 $W$ がエンリケス曲面に双有理同型である可能性はあるか？ もしあるならば、固定軌道と $B_0$ に必要な条件は何か？
• RQ3 対合の固定点数 $k$ と、$K_W^2$ および $W$ の双有理型の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 $W$ がエンリケス曲面に双有理同型である場合、$B_0$ の既約成分の幾何的不変量（genus、自己自己交叉数）は何か？
• RQ5 このような曲面は、Picard 群に 2- torsion 要素を必ずもつのか？ また、これは対合の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 商曲面 $W = S/\sigma$ がエンリケス曲面に双有理同型である場合、対合 $\sigma$ は正確に 9 個の固定点を持ち、$S$ 上の固定除集合 $R$ は genus 3 の曲線、または genus 1 と genus 3 の曲線の和集合である。
• $W$ の最小モデル上の分岐除集合 $B_0$ は以下のいずれかの形をとる：$\begin{subarray}{c}\Gamma_0\\(3,0)\end{subarray} + \begin{subarray}{c}\Gamma_1\\(1,-2)\end{subarray}$、$\begin{subarray}{c}\Gamma_0\\(3,-2)\end{subarray}$、または $\Gamma_0$ が genus 3 または 4、$\Gamma_1$ が genus 1 または 2 の他の構成。
• $k = 9$ のとき、$K_W^2 = -2$ であり、$W$ がエンリケス曲面に双有理同型であるための必要十分条件は、$B_0$ が $\begin{subarray}{c}\Gamma_0\\(3,0)\end{subarray} + \begin{subarray}{c}\Gamma_1\\(1,-2)\end{subarray}$ または $\begin{subarray}{c}\Gamma_0\\(3,-2)\end{subarray}$ であることである。
• $k = 11$ のとき、$S$ の二重標準写像は対合と合成され、$W$ は有理曲面であり、$K_W^2 = -4$ であり、$B_0$ は既存の研究により事前に分類済みのため、ここでは完全に分類されていない。
• 曲面 $S$ は、対合の構造と商の幾何から、Picard 群に 2- torsion 要素をもつことが示された。
• 分類により、$W$ は $k$ と $K_W^2$ に応じて一般型、適切に楕円的、または有理曲面であることが判明した。$k = 5$ では $K_W^2 = 2$ で $B_0 = \begin{subarray}{c}\Gamma_0\\(1,-2)\end{subarray}$、$k = 7$ では $K_W^2 = 1$ または $0$ で、さまざまな $B_0$ の型をとる。