[論文レビュー] Involutive distributions of operator-valued evolutionary vector fields

Arthemy V. Kiselev, J.W. van de Leur|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 59被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、全微分に関する線形行列微分作用素、すなわち、その像がジャンプ空間上の進化的ベクトル場のリー代数において閉じており、その結果として包合的分布を形成する、Frobenius作用素を導入する。主な貢献は、Miura型変換を用いた統一的な幾何学的・代数的枠組みを構築し、再帰作用素やハミルトニアン作用素を一般化するとともに、商空間（定義域/核）上にリー代数構造を確立し、半単純リー代数に関連する2次元Toda鎖に対して構造定数の明示的構成を行うことである。

ABSTRACT

Let F be a smooth real manifold with a linear connection in the tangent bundle. How can we extend the coefficients of the connection to bi-differential operators that incorporate the original structure at zero order? Take a constant mapping of F to a point. Suppose that the point belongs to another manifold M^n. Consider a fibre bundle over M^n with fibres F. Denote the projection of the total space to M^n by π. Construct the space of infinite jets $J^\infty(π)$ of sections for this bundle. The $C^\infty(J^\infty(π))$-module of π-vertical evolutionary fields on the jet space is the analogue of the $C^\infty(F)$-module of vector fields on F, which now `feels' the presence of the base M^n. We define and classify the matrix linear differential operators whose images in the module of evolutionary fields are closed w.r.t. commutation. We define the compatibility for such operators with collective commutation closure. We prove that, under reparameterizations in their domain, the bi-differential structural constants, which describe the commutation of the fields in the sum of their images, obey an analogue of the transformation rule for Christoffel symbols. We show that the new structure is the connection in the pair of Lie algebras (the domain and the sum of images of the operators) related by homomorphisms (points in the linear space spanned by the operators). The application of this theory to geometry of PDE solves a long-standing problem. We give a complete description of symmetry algebras for 2D Toda chains associated with semi-simple Lie algebras: we obtain all symmetry generators and calculate all commutation relations. As a by-product, we expose a geometric scheme for derivation of bi-Hamiltonian KdV-type hierarchies related to root systems.

研究の動機と目的

• ジャンプ空間上の進化的ベクトル場のリー代数において、像が括弧積について閉じている全微分に関する線形微分作用素の座標不変で幾何的な概念を定義すること。
• 定義域と像の間の標準的な相関関係が破れる独立したゲージ変換を許容することで、従来の可積分系における再帰作用素やハミルトニアン作用素を一般化すること。
• このような作用素によって誘導される商空間 dom(A)/ker(A) 上にリー代数構造を構成し、作用素の空間にジャコビ恒等式を満たす括弧積を導入すること。
• Miura変換の下でのベクトル場および余ベクトル場の変換則を用いてFrobenius作用素を分類し、二つの主要なクラスを区別すること。
• ランク r の半単純リー代数に関連する2次元Toda鎖の高次対称性を完全に記述し、作用素と構造定数の明示的計算を用いて行うこと。

提案手法

• 本稿では、[im A, im A] ⊆ im A を満たすFrobenius作用素 A を定義し、無限次ジャンプバンドル J^∞(π) 上で包合的分布を形成することを保証する。
• Ω = dom A / ker A 上に、進化的ベクトル場からの括弧積構造を上昇させるリー括弧 [ , ]_A を導入する。
• 作用素は、Miura変換の下での定義域の変換則によって分類され、定義域のゲージ自由度は像の変換とは独立している。
• 共通の定義域を持つ r 個の作用素の組に対して、[A_i, A_j] = ∑_k A_k ∘ c_ij^k という双線形括弧を定義し、c_ij^k がジャコビ恒等式を満たす双微分作用素であることを示す。
• 2次元Toda系に対して、明示的な作用素 A_i と構造定数 c_ij^k を計算し、平坦な非カルタン接続に関する対称的双微分クリストッフル記号としての幾何的意味を示す。
• リー代数 (Ω, [ , ]_A) 上に形式的微分複体を構成し、ジャンプ空間上のリー代数的バンドルとリー代数の準同型 A: Ω → g を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ジャンプ空間上の進化的ベクトル場のリー代数において、括弧積について閉じている全微分に関する線形微分作用素の座標不変で幾何的な概念を定義できるか？
• RQ2 作用素 A の像が包合的であるとき、商空間 dom(A)/ker(A) の代数的・幾何的構造はどのようなものか？
• RQ3 作用素 A の定義域の変換則は像とどのように関係するか？また、それらは独立に取りうるのか？これは、既知の再帰作用素やハミルトニアン作用素の一般化を可能にするか？
• RQ4 Miura変換はFrobenius作用素の分類において果たす役割は何か？また、定義域におけるゲージ自由度とどのように関係するか？
• RQ5 2次元Toda鎖のような可積分系に対して、作用素括弧 [A_i, A_j] の構造定数を明示的に計算できるか？また、それらがエンコードする幾何的構造は何か？

主な発見

• 本稿では、可積分系に対して、明示的に計算された記号的計算により検証済みの、最初に知られている well-defined な Frobenius 再帰作用素 R_0 = Â_0 ∘ ω の例を構成した。
• ランク r の半単純リー代数に関連する2次元Toda鎖に対して、著者らは高次対称性を完全に記述し、先行研究の結果を一般化・完成させた。
• 作用素括弧の構造定数 c_ij^k は明示的に計算され、平坦な非カルタン接続に関する対称的双微分クリストッフル記号としての幾何的意味を示した。
• 括弧 [A_i, A_j] は Ω がベクトル場からなるとき反対称的であり、covector field からなるとき対称的であることが示され、双対的な変換則が反映されている。
• 本稿では、包合的条件が成り立つ場合、無限次ジャンプバンドル上のリー代数的バンドルを、有限次元の基底多様体から直接持ち上げることはできないことを示し、(Ω, [ , ]_A) 上の形式的微分複体の構成が必要であることを示した。
• 作用素 ω = A_1^{-1} を用いたSokolov括弧の計算と、その進化的導分作用素による作用により、ジャコビ恒等式が確認された。記号的計算により、15,000行にわたる出力の後、残差がゼロとなった。