[論文レビュー] Involutive equivalence bimodules and inclusions of C*-algebras with Watatani index 2

Kazunori Kodaka, Tamotsu Teruya|ArXiv.org|Feb 7, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Watatani指数2の単位的C*-代数の包含関係と、自己随伴A-A同値バイモジュールの間の一対一対応を確立する。任意のこのような包含関係が自己随伴同値バイモジュールから生じることを証明し、II₁因子に対するGoldmanの定理をC*-代数へ一般化するとともに、基本構成におけるジョーンズ射影のヴォイナールト同値性を用いて、包含関係がねじれ付きクロスプロダクトである条件を特徴づける。

ABSTRACT

Let A be a unital C*-algebra. We shall introduce involutive A-A-equivalence bimodules and prove that any C*-algebra containing A with Watatani index 2 is constructed by an involutive A-A-equivalence bimodule.

研究の動機と目的

• 指数2の部分因子に対するGoldmanの定理をC*-代数へ一般化すること。
• Watatani指数2のC*-代数の包含関係を支配する構造的不変量を特定すること。
• このような包含関係が2Z-内部な力学系によるねじれ付きクロスプロダクトとして生じる条件を特徴づけること。
• 指数2の包含関係と、より小さい代数上の自己随伴同値バイモジュールの間の一対一対応を確立すること。
• 特に無理数回転C*-代数において、指数2の包含関係が標準的クロスプロダクトとして表現できない障害を分析すること。

提案手法

• C*-基本構成とジョーンズ射影の構造を用いて、自己随伴A-A同値バイモジュールの概念を導入する。
• C*-基本構成 $ C^*\langle B, e_A \rangle $ と双対条件付期待値 $ \widetilde{E} $ を用いて、包含関係 $ A \subset B $ の構造を分析する。
• 条件 $ \text{Index} E = 2 $ を用いて、$ (1 - e_A)C^*\langle B, e_A \rangle(1 - e_A) \cong A(1 - e_A) \cong A $ を示し、自然なバイモジュール構造が得られることを示す。
• バイモジュール $ X = e_{11}(A \otimes M_2(\mathbb{C}))e_{22} $ に、$ x = \begin{pmatrix} 0 & z \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ に対して $ x^\sharp = \begin{pmatrix} 0 & z^* \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ で定義される対合を導入し、クロスプロダクトの場合の一般化を行う。
• $ U^2 = 1 $ かつ $ UbU^* = 2E(b) - b $ を満たすユニタリ $ U \in C^*\langle B, e_A \rangle $ を構成し、$ B $ 上の自己同型 $ \beta $ を誘導し、固定点代数を $ A $ とする。
• $ K_0 $-群の計算とトレース解析を用いて、基本構成において $ e_A \sim 1 - e_A $ となる場合を区別し、ねじれ付きクロスプロダクト構造を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Watatani指数2のC*-代数の包含関係を分類する構造的対象は何か？
• RQ2 II₁因子に対するGoldmanの定理は、指数2のC*-代数へ拡張可能か？
• RQ3 指数2の包含関係がねじれ付きクロスプロダクトと同型となる条件は何か？
• RQ4 基本構成において、ジョーンズ射影 $ e_A $ がいつヴォイナールト同値 $ 1 - e_A $ となるか？
• RQ5 なぜ一部の指数2の包含関係、例えば $ A_{2\theta} \subset A_\theta $ は標準的クロスプロダクトとは同型でないのか？

主な発見

• 単位的C*-代数の包含関係 $ A \subset B $ が条件付期待値の指数2を満たすならば、それは自己随伴 $ A $-$ A $-同値バイモジュールから生じる。
• このような包含関係の同型類と自己随伴 $ A $-$ A $-同値バイモジュールの同型類の間には一対一対応が存在する。
• 無理数 $ \theta $ に対して、包含関係 $ A_{2\theta} \subset A_\theta $ は任意の $ A_{2\theta} \rtimes_\beta \mathbb{Z}_2 $ とは同型でない。トレースの障害により、$ \tau(A_\theta) = (\mathbb{Z} \cap \theta\mathbb{Z}) \cap (0,1) $ であり、$ \tau(e) = 1/2 $ と矛盾する。
• 包含関係 $ C_\theta \subset A_\theta $ において、ジョーンズ射影 $ e $ は $ K_0(B_\theta) \cong \mathbb{Z}^6 $ において $ [e] \not= [1 - e] $ を満たすため、$ e \not\sim 1 - e $ であり、これは制限付きクロスプロダクトでないことを示唆する。
• 包含関係 $ A \subset B $ がねじれ付きクロスプロダクト $ A \rtimes_{\alpha/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z} $ と同型であるための必要十分条件は、$ C^*\langle B, e_A \rangle $ において $ e_A \sim 1 - e_A $ であることである。これは $ K_0 $-群とトレース解析により示された。
• 指数2の場合、基本構成は $ (1 - e_A)C^*\langle B, e_A \rangle(1 - e_A) \cong A(1 - e_A) \cong A $ を満たし、これによりバイモジュール構造と対合が可能になる。