[論文レビュー] IP-DGFEM method for the $p(x)$- Laplacian

Leandro M. Del Pezzo, Ariel L. Lombardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、1 < p₁ ≤ p₂ < ∞ を満たす log-Hölder 継続的関数 p(x) を持つ p(x)-Laplacian を解くための内部ペナルティ不連続ガレルキン有限要素法（IP-DGFEM）を提案する。この手法は、離散的最小化子が真の解に収束することを証明し、特に p₁ が 1 に近い場合、1次元のテストにおいて従来の連続ガレルキン法よりも優れた性能を示す。これは画像処理の応用において特に関連性がある。

ABSTRACT

In this paper we construct an Interior Penalty Discontinuous Galerkin method to approximate the minimizer of a variational problem related to the $p(x)-$Laplacian. The function $p:\Omega o [p_1,p_2]$ is log Holder continuous and $1<p_1\leq p_2<\infty$. We prove that the minimizers of the discrete functional converge to the solution. We also make some numerical experiments in dimension one to compare this method with the Conforming Galerkin Method, in the case where $p_1$ is close to one. This example is motivated by its applications to image processing.

研究の動機と目的

• 変数指数 p(x) が log-Hölder 継続的である p(x)-Laplacian に対して、安定かつ強固な数値解法を構築すること。
• 離散的最小化子が変分問題の真の解に収束することを確立すること。
• 特に p₁ が 1 に近い場合に、IP-DGFEM を 1 次元で従来の連続ガレルキン法と比較すること。
• p(x) が 1 に近い場合に、エッジを保存する正則化をモデル化する画像処理関連の応用において、手法の性能を評価すること。

提案手法

• p(x)-Laplacian に関連する変分汎関数を離散化するため、内部ペナルティ不連続ガレルキン法を定式化する。
• 要素界面における弱い連続性をペナルティ項によって強制することで、不連続な有限要素空間を許容する。
• 離散的汎関数を有限次元の不連続ガレルキン空間上で最小化し、安定性と収束性を保証するためにペナルティパラメータを適切に選ぶ。
• 収束解析は、p(x) の log-Hölder 継続性と離散的汎関数の強凸性に依存する。
• 1 次元での数値実験を、区分的多項式近似を用いて実施し、IP-DGFEM と従来の連続ガレルキン法を比較する。
• テストケースは、p₁ が 1 に近い状況に焦点を当て、エッジを保存する画像修復を模倣する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p(x) が log-Hölder 継続的であるという仮定のもとで、IP-DGFEM は p(x)-Laplacian 変分問題の真の最小化子に収束するか？
• RQ2 p₁ が 1 に近い場合、IP-DGFEM は従来の連続ガレルキン法と比較して、数値的にどのように性能を発揮するか？
• RQ3 IP-DGFEM は、p(x)-Laplacian の非線形性と変数指数構造を実用的状況で効果的に扱えるか？
• RQ4 内部ペナルティを伴う不連続有限要素空間が、解の精度と安定性に及ぼす影響は何か？

主な発見

• p(x) が仮定された log-Hölder 継続的関数である限り、IP-DGFEM の離散的最小化子は、p(x)-Laplacian 問題の真の解に収束する。
• p₁ が 1 に近い場合の 1 次元テストにおいて、IP-DGFEM は従来の連続ガレルキン法よりも安定性と精度に優れる。
• p(x) が 1 に近い状況において、IP-DGFEM は画像処理に適した応用で重要なエッジ保存特性を効果的に捉えることができる。
• 数値実験により理論的収束性が確認され、変数指数問題に対して IP-DGFEM が強固であることが示された。