[論文レビュー] IR-truncated $\mathcal{PT}-$symmetric $ix^3$ model and its asymptotic spectral scaling graph

Uwe Guenther, Frank Stefani|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限区間 $[-L,L]$ 上で $π\mathcal{T}$-対称な $ix^3$ 量子力学的モデルのインフラレッド（IR）截断を、WKBおよびストークス図分析を用いて検討する。その結果、$L$ に依存しない漸近的不変なスペクトルスケーリング図 $\mathcal{R} \subset \mathbb{C}$ が得られ、全実数直線 $x \in \mathbb{R}$ 上のモデルにおける非有界固有値列が、スペクトル無限大における $\mathcal{P}\mathcal{T}$-対称性の破れ領域の写像版に近づくことが示された。この結果は、$\mathcal{P}\mathcal{T}$-対称な $-(ix)^{2n+1}$ モデルがヒルベルト空間モデルと等価ではなく、凝縮過程に関連する非リーマン的モード行動を示す証拠を提供する。

ABSTRACT

The $\mathcal{PT}-$symmetric quantum mechanical $V=ix^3$ model over the real line, $x\in\mathbb{R}$, is infrared (IR) truncated and considered as Sturm-Liouville problem over a finite interval $x\in\left[-L,L ight]\subset\mathbb{R}$. Via WKB and Stokes graph analysis, the location of the complex spectral branches of the $V=ix^3$ model and those of more general $V=-(ix)^{2n+1}$ models over $x\in\left[-L,L ight]\subset\mathbb{R}$ are obtained. The corresponding eigenvalues are mapped onto $L-$invariant asymptotic spectral scaling graphs $\mathcal{R}\subset \mathbb{C}$. These scaling graphs are geometrically invariant and cutoff-independent so that the IR limit $L o \infty $ can be formally taken. Moreover, an increasing $L$ can be associated with an $\mathcal{R}-$constrained spectral UV$ o$IR renormalization group flow on $\mathcal{R}$. The existence of a scale-invariant $\mathcal{PT}$ symmetry breaking region on each of these graphs allows to conclude that the unbounded eigenvalue sequence of the $ix^3$ Hamiltonian over $x\in\mathbb{R}$ can be considered as tending toward a mapped version of such a $\mathcal{PT}$ symmetry breaking region at spectral infinity. This provides a simple heuristic explanation for the specific eigenfunction properties described in the literature so far and clear complementary evidence that the $\mathcal{PT}-$symmetric $V=-(ix)^{2n+1}$ models over the real line $x\in\mathbb{R}$ are not equivalent to Hermitian models, but that they rather form a separate model class with purely real spectra. Our findings allow us to hypothesize a possible physical interpretation of the non-Rieszian mode behavior as a related mode condensation process.

研究の動機と目的

• 有限区間 $[-L,L]$ 上でのインフラレッド（IR）発散を除去するための有限ドメイン截断を用いた $\mathcal{PT}$-対称な $ix^3$ モデルのスペクトル挙動を理解すること。
• 区間 $[-L,L]$ 上の $V = -(ix)^{2n+1}$ モデルの漸近的スペクトルスケーリングを分析し、$\mathbb{C}$ 内の幾何学的に不変なスケーリング図 $\mathcal{R} \subset \mathbb{C}$ を同定すること。
• 正式な $L \to \infty$ 限界の考察と、特に $\mathcal{PT}$ 対称性の破れに関する、全実数直線 $x \in \mathbb{R}$ モデルの構造的意味を明らかにすること。
• $ix^3$ モデルで観測された非リーマン的固有関数性質を、スペクトル無限大におけるスケール不変な $\mathcal{PT}$-対称性の破れ領域への写像によって、ヒューリスティックに説明すること。

提案手法

• モデルは、無限大実数直線の代わりに有限区間 $x \in [-L, L]$ 上のストゥルム＝リウヴィル問題として定式化される。
• 波動関数解と固有値制約を導出するために、エアリー関数を用いた一様な零次近似のWKB近似が適用される。
• 複素スペクトル分岐の特定と固有値の実数性条件の決定に、ストークス図分析が用いられる。
• 固有値 $E_j(L)$ は $\mathcal{E}_j = E_j / (g L^{2n+1})$ としてスケーリングされ、$L$ に依存しない漸近的スペクトルスケーリング図 $\mathcal{R} = \mathcal{R}_{CO} \cup \mathbb{R}_+$ が構築される。
• $L$ の増加に伴う $\mathcal{R}$ 上での写像された固有値 $\mathcal{E}_j$ の流れが分析され、$\mathcal{R}_{BT}$ から $\mathcal{R}_{BS}$ および $\mathcal{R}_{CO}$ へのレノルミズェーション群的流れが明らかになる。
• 反ストークス線分 $\mathcal{Y}$ 沿いでの微分的実行により、スケーリング図の複素成分 $\mathcal{R}_{CO}$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限区間 $[-L,L]$ 上での $\mathcal{PT}$-対称な $ix^3$ モデルの固有値は、インフラレッド発散を有限区間截断によって除去した場合、どのように振る舞うか？
• RQ2 $[-L,L]$ 上の $V = -(ix)^{2n+1}$ モデルの漸近的スペクトルスケーリング図 $\mathcal{R}$ の構造は何か？また、それは切り捨てパrameter $L$ に依存しないか？
• RQ3 $L \to \infty$ 限界は形式的に取れるか？ そして、全実数直線 $x \in \mathbb{R}$ モデルのスペクトルにどのような意味をもたらすか？
• RQ4 $ix^3$ モデルにおける非リーマン的固有関数性質は、スペクトルスケーリング図の幾何学的構造と $\mathcal{PT}$ 対称性の破れとどのように関係しているか？
• RQ5 $\mathcal{R}$ 上での写像された固有値の流れは、非リーマン的モード挙動を凝縮過程として物理的に解釈する手がかりを示唆するか？

主な発見

• 漸近的スペクトルスケーリング図 $\mathcal{R} = \mathcal{R}_{CO} \cup \mathbb{R}_+$ は幾何学的に不変であり、切り捨てパrameter $L$ に依存しない。これにより、正式な $L \to \infty$ 限界が可能になる。
• 写像された固有値 $\mathcal{E}_j = E_j / (g L^{2n+1})$ は $L$ の増加に伴い $\mathcal{R}$ 上を流れ、実固有値は $\mathcal{R}_{BT}$ から $\mathcal{R}_{BS}$ へ、複素固有値は $\mathcal{R}_{CO}$ へ移行する。
• 大きな $L$ に対して、複素固有値 $\mathcal{E}_j \in \mathcal{R}_{CO}$ と端点 $\mathcal{E} = \pm i$ 間の距離 $\tau(\mathcal{E}_j)$ は $\tau(\mathcal{E}_j) = \frac{1}{4}(4j - 1)\pi \hbar / \sqrt{g L^{2n+3}}$ とスケーリングされ、$L$ の増加に伴い収縮する。
• $\mathcal{R}$ 上の $\mathcal{PT}$-対称性の破れ領域はスケール不変であるため、全 $x \in \mathbb{R}$ モデルの固有値列がスペクトル無限大においてこの領域に近づくことが示唆される。
• $n = 2$ から $5$ におけるシューティング法の結果と零次近似WKB近似の間の数値的一致は、相転移領域外では反ストークス線アプローチの妥当性を確認する。
• 結果は、$\mathcal{PT}$-対称な $-(ix)^{2n+1}$ モデルがヒルベルト空間モデルと等価ではなく、純粋に実数スペクトルが、別個の非ヒルベルト的メカニズムによって生じることを支持する。