[論文レビュー] Irrational Numbers Associated to Sequences Without Geometric Progressions

Melvyn B. Nathanson, Kevin O’Bryant|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、比が s の累乗である長さ k の幾何級数を含まない {1, 2, ..., n} の最大部分集合の自然密度が、無理数に収束することを確立している。その極限は、k 項の等差級数を含まない {0, 1, ..., ℓ−1} の最大部分集合の数を数える関数 r_k(ℓ) の逆像を含む無限級数として表現される。無理数性は、極限の s 進展開における 1 の位置の間隔が無限に広がることに起因し、これは Szemerédi の等差級数定理によって証明される。

ABSTRACT

Let s and k be integers with s \geq 2 and k \geq 2. Let g_k^{(s)}(n) denote the cardinality of the largest subset of the set {1,2,..., n} that contains no geometric progression of length k whose common ratio is a power of s. Let r_k(\ell) denote the cardinality of the largest subset of the set {0,1,2,\ldots, \ell -1\} that contains no arithmetric progression of length k. The limit \[ \lim_{n ightarrow \infty} \frac{g_k^{(s)}(n)}{n} = (s-1) \sum_{m=1}^{\infty} \left(\frac{1}{s} ight)^{\min \left(r_k^{-1}(m) ight)} \] exists and converges to an irrational number.

研究の動機と目的

• 長さ k の幾何級数（比が s の累乗）を含まない {1, 2, ..., n} の最大部分集合の漸近的密度を特定すること。
• 整数の s-進付値による分解を用いて、このような極値的集合の構造を分析し、幾何級数を含まない集合を指数における等差級数を含まない集合に関連付けること。
• 極限密度が無理数であることを示すため、その s 進展開における 1 の間隔が無限に広がることを証明すること。
• 指数列を通じて幾何級数を含まない性質と等差級数を含まない性質を結びつけることで、既知の進歩自由集合に関する結果を拡張すること。

提案手法

• g_k^(s)(n) を、比が s の累乗である k 項の幾何級数を含まない {1, 2, ..., n} の最大部分集合のサイズとする。
• {1, 2, ..., n} を、s で割り切れない b に対して定義される互いに素な集合 T(b) = {b s^i : i ≥ 0} に分割する。
• 各 b に対して、T(b) ∩ {1, ..., n} の要素数は 1 + [log_s(n/b)] であり、T(b) の中で k 項の幾何級数を含まない最大部分集合のサイズは、r_k(1 + [log_s(n/b)]) に等しい。ここで r_k(ℓ) は、{0, 1, ..., ℓ−1} の中で k 項の等差級数を含まない最大部分集合のサイズを表す。
• g_k^(s)(n) を B_n に属する b についての r_k(1 + [log_s(n/b)]) の和として表現し、r_k(ℓ) の分布と log_s(n/b) が同じ値をとる b の数を用いて和を推定する。
• r_k^{-1}(m) を用いて、r_k(ℓ) の値ごとに項をグループ化し、m についての和として m × Σ_{ℓ ∈ r_k^{-1}(m)} s^{-ℓ} を得る。
• 部分和の公式と漸近的解析を適用し、g_k^(s)(n)/n が (s−1) ∑_{m=1}^∞ (1/s)^{min(r_k^{-1}(m))} に収束することを示し、この極限が無理数であることを、その s 進展開における 1 の位置の間隔が無限に広がることによって証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 lim_{n→∞} g_k^(s)(n)/n は存在するか？ その場合、無限級数として表現可能か？
• RQ2 すべての整数 s ≥ 2 および k ≥ 2 に対して、lim_{n→∞} g_k^(s)(n)/n は無理数か？
• RQ3 Szemerédi の等差級数定理に依存せずに、この極限の無理数性を確立できるか？
• RQ4 関数 g_k^(s)(n) は s に関して非減少か？ また、s' > s かつ十分大きな n に対して g_k^(s')(n) < g_k^(s)(n) が成り立つか？
• RQ5 S が 2 以上の整数の有限集合であるとき、g_k^(S)(n)/n の極限は無限級数として表現可能か？

主な発見

• lim_{n→∞} g_k^(s)(n)/n は存在し、(s−1) ∑_{m=1}^∞ (1/s)^{min(r_k^{-1}(m))} に等しい。ここで r_k(ℓ) は、{0, 1, ..., ℓ−1} の中で k 項の等差級数を含まない最大部分集合のサイズを表す。
• 無限級数は (0,1) の実数に収束し、その s 進展開には 0 と 1 のみが現れる。
• この数は無理数である。なぜなら、その s 進展開における 1 の位置の間隔が無限に広がるからであり、これは補題 1 と Szemerédi の定理の結果である。
• 無理数性は背理法によって証明される：もし数が有理数であれば、その s 進展開は最終的に周期的になるが、1 の間隔が無限に広がるため、これは不可能である。
• 極限は (s−1)/s より厳密に小さい。また、(1/s)^{min(r_k^{-1}(m))} の指数的減衰のおかげで、級数は絶対収束する。
• この結果はすべての整数 s ≥ 2 および k ≥ 2 に対して成り立ち、有限個の基数 s の集合に対しても一般化可能である。