[論文レビュー] Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a Theorem of Jarnik

Jonathan Sondow|ArXiv.org|Jun 15, 2004

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用数 13

ひとこと要約

本稿は無理数の無理数的測度と底に関する理論を構築し、連分数およびフィボナッチ数列を用いた公式を導入する。構成的技法を用いて所定の無理数的底を持つ級数を生成する方法を証明し、ジャーニクの定理を応用して所定の無理数的測度を持つ数を生成する。明示的な例と境界を提示する。

ABSTRACT

In math.NT/0307308 we defined the irrationality base of an irrational number and, assuming a stronger hypothesis than the irrationality of Euler's constant, gave a conditional upper bound on its irrationality base. Here we develop the general theory of the irrationality exponent and base, giving formulas and bounds for them using continued fractions and the Fibonacci sequence. A theorem of Jarnik on Diophantine approximation yields numbers with prescribed irrationality measure. By another method we explicitly construct series with prescribed irrationality base. Many examples are given.

研究の動機と目的

• 無理数の無理数的測度と底に関する包括的な理論を確立すること。
• 連分数およびフィボナッチ数列を用いて無理数的測度の明示的公式と境界を導出すること。
• 新規の技法を用いて所定の無理数的底を持つ明示的級数を構成すること。
• ジャーニクのディオファントス近似定理を応用して所定の無理数的測度を持つ数を生成すること。
• 無理数的測度および底の具体的な例と定量的境界を提示すること。

提案手法

• 連分数展開を用いて無理数的測度と底を分析および計算する。
• フィボナッチ数列の性質を応用して無理数的測度の境界を導出する。
• ディオファントス近似におけるジャーニクの定理を用いて、所定の無理数的測度を持つ数を構成する。
• 無理数的底が正確に所定の値となる無限級数を生成する構成的技法を導入する。
• 解析的技法と数論的道具を組み合わせて、無理数的測度の明示的公式を導出する。
• 有理近似における分母の成長率と近似の精度の関係を利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連分数を用いて無理数的測度と底を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 フィボナッチ数列は無理数的測度の境界にどのように寄与するか？
• RQ3 その無理数的底が正確に所定の値となる明示的級数を構成できるか？
• RQ4 ジャーニクの定理は所定の無理数的測度を持つ数の構成をどのように支援するか？
• RQ5 これらの手法を用いて得られる無理数的測度および底の最もきつい既知の境界は何か？

主な発見

• 本稿は連分数の収束分数を用いた無理数的測度の明示的公式を提供する。
• フィボナッチ数列が無理数的測度の境界を最適化する成長率をもたらすことが確立された。
• 任意の所定の無理数的底を持つ級数を生成する構成的技法が開発された。
• ジャーニクの定理を用いて、2以上の任意の所定の無理数的測度を持つ数の存在が証明された。
• 数値的例が提示され、理論の説明がなされ、条件付き仮定の下でオイラー定数の無理数的底の境界が示された。
• 特定の近似の文脈において、無理数的底が無理数的測度よりも洗練された不変量であることが示された。