[論文レビュー] Irreducibility and postcritically finite unicritical polynomials

Xavier Buff, Adam Epstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、一臨界多項式 $ f_a(z) = az^D + 1 $ のパラメータのガロア共役性に関するGokselの結果について、新しい証明と拡張を提供する。$ D = p^e $（素数べき）のとき、$ z=0 $ に対する周期的軌道の周期が1または2であるパラメータは、ガロア共役であることを示す。さらに、$ D=2 $ の場合の周期3に対しても拡張され、素数次数に関する先行研究を一般化する。

ABSTRACT

Fix $D\geq 2$ and consider the unicritical polynomial $f_a:\mathbb C o \mathbb C$ defined by $f_a(z) = az^D+1$. We say that $0$ is (pre)periodic under iteration of $f_a$ if $f_a^{\circ (k+n)}(0) = f_a^{\circ k}(0)$ for some integers $k\geq 0$ and $n\geq 1$. If $k$ and $n$ are minimal, then $k$ is the preperiod and $n$ is the period. Recently, Goksel proved that if $D$ is prime, then two parameters $a_1\in \mathbb C$ and $a_2\in \mathbb C$ for which $0$ is preperiodic with period $1$ and with the same preperiod $k\geq 2$ are Galois conjugate; he also proved that when $D=2$, the result extends to the case of period $2$. We give a new proof of this result and extend it to the case of periods $1$ and $2$ for arbitrary prime power degrees, i.e., $D= p^e$ for some prime $p$. We also extend the result to the case of period $3$ in degree $D=2$.

研究の動機と目的

• 一臨界多項式における前周期的軌道をもつパラメータのガロア共役性に関するGokselの結果を、より高い素数べき次数に一般化すること。
• $ D = 2 $ の場合に周期1および2から周期3への共役性結果の拡張すること。
• 元の結果の新たな証明を、代替的手法を用いて提示し、明確性と一般性を向上させること。
• $ f_a(z) = az^D + 1 $ において $ 0 $ が前周期的となる $ a eq 0 $ の代数的構造を同定すること。

提案手法

• $ f_a(z) = az^D + 1 $ において $ 0 $ が前周期的となる $ a eq 0 $ のパラメータに対するガロア作用を、代数的数論を用いて分析すること。
• 力学系の技法を用いて $ 0 $ の前向き軌道を研究し、反復における前周期および周期に注目すること。
• 繰り返し臨界軌道の構造を活用し、パラメータ $ a $ が満たす代数的関係を導出すること。
• 体のトレースおよび判別式の議論を用いて、同じ前周期および周期を持つパラメータがガロア共役であることを確立すること。
• 素数次数から素数べき次数 $ D = p^e $ への分析を拡張し、力学系の構造的および帰納的議論を用いること。
• 明示的計算および得られた代数的数のガロア理論的解析により、$ D=2 $ の周期3の場合を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ D = p^e $ のとき、$ 0 $ が前周期的で同じ前周期 $ k \neq 0 $ および周期 $ n=1 $ をもつパラメータ $ a_1, a_2 \neq 0 $ は、必然的にガロア共役であるか。
• RQ2 周期 $ n=2 $ のガロア共役性結果は、素数次数から素数べき次数 $ D = p^e $ に拡張可能か。
• RQ3 $ D=2 $ の場合に周期 $ n=3 $ に対してもガロア共役性結果が拡張可能か。
• RQ4 $ f_a(z) = az^D + 1 $ において $ 0 $ が前周期的となるパラメータ $ a $ の集合がもつ代数的構造は何か。
• RQ5 ガロア群はこのようなパラメータの集合にどのように作用するか。その共役性を決定する不変量は何か。

主な発見

• $ D = p^e $ のとき、同じ前周期 $ k \neq 0 $ および周期 $ n=1 $ をもつ $ a_1, a_2 \neq 0 $ はガロア共役である。
• 周期 $ n=2 $ のガロア共役性結果は、すべての素数べき次数 $ D = p^e $ に対して成り立ち、Gokselの元の結果（素数 $ D $ の場合）を拡張する。
• $ D=2 $ の場合に周期 $ n=3 $ に対しても結果が拡張され、このようなパラメータもガロア共役であることが示された。
• 元の結果に対して、明確性と適用範囲の広がりを向上させた新たな証明が提示された。
• 前周期的パラメータに対応する代数的整数は、前周期および周期が固定されているとき、ガロア共役であることが示された。
• 素数べき次数の一臨界多項式の力学系は、その前周期的パラメータのガロア構造に反映される強い算術的制約を示す。