[論文レビュー] Irreducibility of a holomorphic eta quotient is determinable

Soumya Bhattacharya|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の正則エータ商の既約性が、その適切な因子の最小レベルに対する上界を計算するアルゴリズムを提供することによって決定可能であることを確立している。主な貢献は、正則エータ商が既約であるか、より単純な成分に因数分解可能であるかを判定するための構成的基準を提示することにある。

ABSTRACT

We show that a holomorphic eta quotient has only finitely many factors. We also provide an algorithm for checking irreducibility of holomorphic eta quotients by constructing an upper bound for the minimum of the levels of the proper factors of a reducible holomorphic eta quotient.

研究の動機と目的

• 正則エータ商が既約か可約かを特定するという未解決問題に取り組む。
• 正則エータ商が有限個の可能な因子しかもたないことを確立し、既約性の決定可能性を保証する。
• 任意の適切な因子の最小レベルに対する上界を計算することで、既約性をチェックするアルゴリズム的手法を開発する。
• 潜在的因子のレベル制約に基づいた、既約性の構成的基準を提供する。

提案手法

• 還元可能な正則エータ商の任意の適切な因子の最小レベルに対する上界を構成する。
• デデキンド・エータ関数の性質およびモジュラー形式における正則エータ商の構造に依存する。
• アルゴリズムはレベルに基づく制約を用いて、可能な因数分解の探索空間を制限する。
• モジュラー形式のレベルに関する数論的上限を用いて、候補となる因子を制限する。
• 潜在的因子のレベルを制限することで、既約性問題を有限計算に還元するアプローチである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則エータ商の既約性は、アルゴリズム的に決定可能か？
• RQ2 還元可能な正則エータ商の適切な因子の最大可能な最小レベルは何か？
• RQ3 任意の与えられた正則エータ商に対して、有限個の可能な因子しか存在しないか？
• RQ4 既約性の決定可能性を可能にするために、因子のレベルに対する有限の上限を計算可能か？

主な発見

• 任意の正則エータ商の既約性は、アルゴリズム的手順によって決定可能である。
• すべての正則エータ商は、有限個の可能な因子しかもたないため、問題が有限であることが保証される。
• 還元可能な任意の正則エータ商に対して、その適切な因子の最小レベルに対する有効な上界を計算可能である。
• アルゴリズムにより、因子のレベルを制限することで、既約性の有限検証が可能になる。