[論文レビュー] Irreducibility of Hurwitz spaces

Vassil Kanev|ArXiv.org|Sep 7, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、種数 ≥1 の滑らかな射影的曲線 $Y$ の $d$ 次被覆をパラメトライズするHurwitz空間の鋭い非可約性条件を確立し、単純な分岐点の数 $n$ が $n \geq 2d - 2$ のとき非可約であることを証明する。さらに、1つの非単純分岐点を持つ被覆への結果の拡張も行う。主な手法は、$Y$ の $n$ 本鎖のぶつぶつ群の生成元を用いた、braid群によるHurwitz系への作用の明示的計算であり、中心的な技術的道具は、任意の群に対して成り立つbraid移動補題の一般化である。

ABSTRACT

Graber, Harris and Starr proved, when n >= 2d, the irreducibility of the Hurwitz space H^0_{d,n}(Y) which parametrizes degree d coverings of a smooth, projective curve Y of positive genus, simply branched in n points, with full monodromy group S_d (math.AG/0205056). We sharpen this result and prove that H^0_{d,n}(Y) is irreducible if n >= max{2,2d-4} and in the case of elliptic Y if n >= max{2,2d-6}. We extend the result to coverings simply branched in all but one point of the discriminant. Fixing the ramification multiplicities over the special point we prove that the corresponding Hurwitz space is irreducible if the number of simply branched points is >= 2d-2. We study also simply branched coverings with monodromy group different from S_d and when n is large enough determine the corresponding connected components of H_{d,n}(Y). Our results are based on explicit calculation of the braid moves associated with the standard generators of the n-strand braid group of Y.

研究の動機と目的

• 種数 $\geq 1$ の $Y$ に対して、Hurwitz空間 $\mathcal{H}^0_{d,n}(Y)$ が非可約となる最小の単純分岐点数 $n$ を特定すること。
• 分岐点が1点を除いてすべて単純分岐であり、その特殊点における分岐乗数を固定する被覆に対しても非可約性の結果を拡張すること。
• モノドロミー群が $S_d$ でない場合、特に $d$ が合成数である場合に $\mathcal{H}_{d,n}(Y)$ の連結成分を分類すること。
• braid群によるHurwitz系への作用を解析する一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 論文はRiemannの存在定理を用いて、Hurwitz空間のファイバーを、積関係を満たす $S_d$ 内の置換のタプル（Hurwitz系）の同値類と特定する。
• これにより、$Y$ の $n$ 本鎖のbraid群の作用を、これらの系に制限し、Birmanの研究から得られる生成系を用いたbraid移動の計算に帰着する。
• 主要な技術的道具は、主補題2.1であり、$h$ が他の生成元と可換であれば、隣接する互換 $t_i, t_{i+1}$ を $h^{-1}t_i h, h^{-1}t_{i+1} h$ に置き換えることでbraid同値性が保たれることを示している。
• braid移動の系列を用いて、Hurwitz系を非自明なモノドロミー要素 $\lambda_k, \mu_k$ を最小化する標準形に還元する。
• 明示的なbraid移動の公式（定理1.8）を用いて、braid群の作用によるHurwitz系の変換を追跡する。
• 分岐点が1点を除いてすべて単純分岐であり、その点の分岐分割 $\underline{e}$ を固定する被覆へと分析を拡張し、$n \geq 2d - 2$ のとき非可約性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数 $\geq 1$ の $Y$ に対して、どの $n$ に対してHurwitz空間 $\mathcal{H}^0_{d,n}(Y)$ が非可約になるか？
• RQ2 分岐点が1点を除いてすべて単純分岐であり、特殊点での分岐データを固定する被覆に対しても、非可約性の結果を拡張できるか？
• RQ3 モノドロミー群が $S_d$ でない場合、$\mathcal{H}_{d,n}(Y)$ の連結成分は何か？ そして、それらは $Y$ のエタール被覆とどのように関係するか？
• RQ4 モノドロミー群が完全な対称群でない場合、braid群によるHurwitz系への作用はどのように振る舞い、非可約性を保証する条件は何か？

主な発見

• 種数 $\geq 1$ の $Y$ に対して、$n \geq 2d - 2$ のとき、Hurwitz空間 $\mathcal{H}^0_{d,n}(Y)$ は非可約である。これは、Graber, Harris, and Starr が示した $n \geq 2d$ の境界を改善するものである。
• 1つの非単純分岐点と固定された分岐分割 $\underline{e}$ を持つ被覆に対して、空間 $\mathcal{H}^0_{d,n,\underline{e}}(Y)$ は $n \geq 2d - 2$ のとき非可約である。
• 種数 $g(Y) = 1$ のとき、$\mathcal{H}^0_{d,n}(Y)$ は $n \geq \max\{2, 2d - 6\}$ で非可約であり、$g(Y) \geq 1$ のとき、$n \geq \max\{2, 2d - 4\}$ で非可約である。
• 合成数 $d$ の場合、モノドロミー群が $S_d$ でない $\mathcal{H}_{d,n}(Y)$ の連結成分は、$n \geq \max(2, 2d' - 4)$（$g=1$ の場合は $2d' - 6$）のときのみ存在する。ここで $d'$ は $d$ の最大の真の約数であり、それらは $d_2 \mid d$、$d_2 \neq 1,d$ を満たす $Y$ のエタール被覆の次数 $d_2$ と一対一対応する。
• 論文は、$[\lambda, \mu] = 1$ かつ $d=4,n=2$ のとき、唯一の可能な最小Hurwitz系が $((12),(12);1,(134))$ に同値であることを証明し、この場合の非可約性を確認した。
• 主補題2.1は、[GHS] の結果を一般化しており、$S_d$ に限らず任意の群 $G$ に対して成り立つ。このため、独立した価値を持つ。