[論文レビュー] Irreducibility of Moduli Spaces of Vector Bundles on Birationally Ruled Surfaces

Charles Walter|ArXiv.org|Nov 16, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、極小化された偏極に関する数値的条件の下で、双有理的にルールドな表面上の半安定なベクトル bundle のモジュライ空間の不可約性および正規性を確立する。優先的層のスタックが滑らかで不可約であることを証明し、半安定層がその中に開部分スタックをなすことを示すことにより、著者たちはモジュライスキームが不可約かつ正規であり、有理的表面では安定部分が滑らかでユニラシオン的であることを導く。

ABSTRACT

Let $S$ be a birationally ruled surface. We show that the moduli schemes $M_S(r,c_1,c_2)$ of semistable sheaves on $S$ of rank $r$ and Chern classes $c_1$ and $c_2$ are irreducible for all $(r,c_1,c_2)$ provided the polarization of $S$ used satisfies a simple numerical condition. This is accomplished by proving that the stacks of prioritary sheaves on $S$ of fixed rank and Chern classes are smooth and irreducible.

研究の動機と目的

• 双有理的にルールドな表面上の半安定なベクトル bundle のモジュライ空間の不可約性を確立すること。
• P² および P¹×P¹ における既知の不可約性結果を、負の kodaira 維度をもつすべての滑らかな射影的表面へと拡張すること。
• 偏極に関する数値的条件の下で、モジュライスキームが正規であり、安定部分が滑らかであることを示すこと。
• 優先的層のスタックが滑らかで不可約であることを証明し、主要な技術的基盤を提供すること。
• 一般の半安定層が局所自由であることを示し、有理的表面では安定モジュライ空間がユニラシオン的であることを証明すること。

提案手法

• Ellingsrud および Strømme の手法を、すべての p∈C に対して Ext²(E, E(−fp)) = 0 を満たすことで定義される優先的層の概念を用いて適応する。
• 点での blowup を用い、Picard 数に関する帰納法により、双有理的にルールドな表面上の優先的層のスタックの不可約性および滑らかさを証明する。
• H⋅(KS+f)<0 の条件下で、すべての H-半安定層が優先的であることを示し、モジュライスタックを優先的スタックへ埋め込む。
• GIT 商構成を Quot スキームを用いて行う：モジュライ空間は、滑らかで不可約な Quot スキームを SL(Hm) で割ったものであり、正規性および不可約性を保証する。
• Simpson の偏極を Quot スキームに適用し、普遍族およびスタック論的技法を用いて、モジュライ空間を商スタックとして構成する。
• Jac(C)×Jac(C)×P^m から安定モジュライ空間への支配的かつ一般に有限な写像を用いて、安定部分のユニラシオン性を確立する。m は明示的に計算されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双有理的にルールドな表面上の半安定ベクトル bundle のモジュライ空間が不可約となる偏極に関する条件は何か？
• RQ2 双有理的にルールドな表面上の優先的層のスタックが滑らかで不可約であることを示せるか？
• RQ3 H⋅(KS+f)<0 の条件が、すべての H-半安定層が優先的であることを保証するか？
• RQ4 このような表面上の半安定層のモジュライスキームは正規であり、その安定部分は滑らかか？
• RQ5 安定モジュライ空間の幾何的構造は何か？有理的表面ではユニラシオン的か？

主な発見

• モジュライ空間 M_{S,H}(r,c₁,c₂) は、空でない限り、かつ偏極が H⋅(K_S + f) < 0 を満たす限り、不可約かつ正規である。
• M_{S,H}^s(r,c₁,c₂) と表される安定層をパラメトライズする開部分スキームは滑らかである。
• すべての r≥2、c₁∈NS(S)、c₂∈Z に対して、優先的層のスタック Priort_S(r,c₁,c₂) は滑らかで不可約である。
• 有理的表面では、m=2rc₂−(r−1)c₁+(r²−2)g−r²+1 であるとき、安定モジュライ空間は Jac(C)×Jac(C)×P^m から支配的かつ一般に有限な写像によってユニラシオン的である。
• M_{S,H}(r,c₁,c₂) 内の一般の H-半安定層は局所自由である。
• すべての双有理的にルールドな表面において、H⋅(K_S + f) < 0 を満たす非常に整な除集合 H が存在し、Picard 数に関する帰納法による明示的構成で示されている。