[論文レビュー] Irreducibility of the Lawrence-Krammer representation of the BMW algebra of type $A_{n-1}$, PhD thesis California Institute of Technology 2008

Claire Levaillant|ArXiv.org|Jan 25, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本博士論文は、$mathbb{C}(r,l)$ 上でのタイプ $A_{n-1}$ の BMW 代数における Lawrence-Krammer 表現の非可約性を確立し、$n \geq 4$ においては特定のパラメータ値 $l \in \{r, -r^3, \frac{1}{r^{n-3}}, -\frac{1}{r^{n-3}}, \frac{1}{r^{2n-3}}\}$ を除き非可約であることを証明する。証明は表現論、不変部分空間、および表現空間内のベクトル系による最小不変部分モジュールの明示的構成を用いる。

ABSTRACT

Given two nonzero complex parameters $l$ and $m$, we construct by the mean of knot theory a matrix representation of size $\chl$ of the BMW algebra of type $A_{n-1}$ with parameters $l$ and $m$ over the field $\Q(l,r)$, where $m=\unsurr-r$. As a representation of the braid group on $n$ strands, it is equivalent to the Lawrence-Krammer representation that was introduced by Lawrence and Krammer to show the linearity of the braid groups. We prove that the Lawrence-Krammer representation is generically irreducible, but that for some values of the parameters $l$ and $r$, it becomes reducible. In particular, we show that for these values of the parameters $l$ and $r$, the BMW algebra is not semisimple. When the representation is reducible, the action on a proper invariant subspace of the Lawrence-Krammer space must be a Hecke algebra action. It allows us to describe the invariant subspaces when the representation is reducible.

研究の動機と目的

• タイプ $A_{n-1}$ の BMW 代数における Lawrence-Krammer 表現の非可約性状態を $\mathbb{Q}(l,r)$ 上で特定すること。
• 表現が可約となるすべてのパラメータ値 $l$ および $m = \frac{1}{r} - r$ を同定すること。
• 不変部分空間と明示的なベクトル構成を用いて、一般非可約性の結果を再証明すること。
• $n = 4, 5, 6$ における表現空間内の最小不変部分空間の構造を記述すること。
• $l = r$ のときの一意性定理を確立し、不変部分空間を完全に記述すること。

提案手法

• BMW 代数 over $\mathbb{Q}(l,r)$ として、次数 $\frac{n(n-1)}{2}$ の Lawrence-Krammer 表現を構成する。
• 半単純性を仮定するため、$r^{2k} \neq 1$（$k = 1,\dots,n$）を満たす $\mathcal{H}_{F,r^2}(n)$ である Iwahori-Hecke 代数をフレームワークとして用いる。
• $n = 4,5,6$ に対して、最小不変部分空間を張る明示的ベクトル系 $w_i^{(n)}$ および $v_i^{(n)}$ を用いる。
• 基底ベクトル $w_{ij}$ における生成子 $X_{ij}$ の作用を分析し、再帰関係および不変性条件を導出する。
• 部分行列（例：サイズ 5）の行列式計算を用いて、線形独立性および非可約性をテストする。
• 特に $l = r$、$l = -r^3$、$l = \pm \frac{1}{r^{n-3}}$、$l = \frac{1}{r^{2n-3}}$ の $l$-値についてのケース解析を実施し、可約性を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ $A_{n-1}$ の BMW 代数 $B(A_{n-1})$ における Lawrence-Krammer 表現が可約となる $l$ および $m = \frac{1}{r} - r$ の値は何か？
• RQ2 $n = 4,5,6$ における Lawrence-Krammer 表現内の最小不変部分空間の構造は何か？
• RQ3 ベクトル $w_i^{(n)}$ および $v_i^{(n)}$ はどのように非可約部分表現を張り、代数生成子の下でどのように変換されるか？
• RQ4 Maple のような計算ツールに依存せずに、主な非可約性結果を証明できるか？
• RQ5 $l = r$ のときの不変部分空間の完全な記述は何か？ そして、その部分空間は共役表現とどのように関係するか？

主な発見

• タイプ $A_{n-1}$ の BMW 代数における Lawrence-Krammer 表現は、$\mathbb{C}(r,l)$ 上で $n \geq 4$ においては、$l \in \{r, -r^3, \frac{1}{r^{n-3}}, -\frac{1}{r^{n-3}}, \frac{1}{r^{2n-3}}\}$ を除き非可約である。
• $n = 4$ のとき、表現には $w_1^{(4)}, w_2^{(4)}$ で張られる唯一の 2 次元不変部分空間と、$v_1^{(4)}, v_2^{(4)}, v_3^{(4)}$ で張られる 3 次元不変部分空間が含まれる。
• $n = 5$ のとき、表現には $w_1^{(5)}, w_2^{(5)}, w_3^{(5)}$ で張られる 3 次元不変部分空間と、$v_1^{(5)}, v_2^{(5)}, v_3^{(5)}$ で張られる 3 次元不変部分空間が含まれる。
• $n = 6$ のとき、$l = \frac{1}{r^9}$ では 1 次元不変部分空間、$l = \frac{1}{r^3}$ では 5 次元、$l = -\frac{1}{r^3}$ では 9 次元、$l = r$ では 10 次元の不変部分空間が含まれる。
• $l = r$ のとき、$\mathcal{V}^{(n)}$ の唯一の不変部分空間は $\sum_{1 \leq i < j \leq n} r^{i+j} w_{ij}$ で張られ、共役表現は分解において現れない。
• 非可約性の証明は Maple に依存せず、代数的および組合せ論的技法を用いて部分モジュールの不変性および次元を検証することで完了した。