[論文レビュー] Irreducible affine isometric actions on Hilbert spaces

Bachir Bekka, Thibault Pillon+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、局所コンpakto群のヒルベルト空間上における不変的アフィン作用の体系的取り扱いを可能にする、シュールの補題のアフィン版を導入する。可縮性はコサイクルの全像および特定の条件的負の型関数の非有界性によって特徴づけられると示される。主要な結果として、超剛性定理が得られる：局所コンパクト群の直積における共コンパクト格の不変的アフィン作用が、線形部が自明表現を弱く含まない限り、その環境群へ拡張可能である。

ABSTRACT

We undertake a systematic study of irreducible affine isometric actions of locally compact groups on Hilbert spaces. It turns out that, while that are a few parallels of this study to the by now classical theory of irreducible unitary representations, these two theories differ in several aspects (for instance, the direct sum of two irreducible affine actions can still be irreducible). One of the main tools we use is an affine version of Schur's lemma characterizing the irreducibility of an affine isometric group action. This enables us to describe for instance the irreducible affine isometric actions of nilpotent groups. As another application, a short proof is provided for the following result of Neretin: the restriction to a cocompact lattice of an irreducible affine action of locally compact group remains irreducible. We give a necessary and sufficient condition for a fixed unitary representation to be the linear part of an irreducible affine action. In particular, when the unitary representation is a multiple of the regular representation of a discrete group G, we show how this question is related to the L2-Betti number of G. After giving a necessary and sufficient condition for a direct sum of irreducible affine actions to be irreducible, we show the following super-rigidity result: if G is product of two or more locally compact groups, then every irreducible affine action of any irreducible co-compact lattice in G extends to an affine action of G, provided the linear part of this action does not weakly contain the trivial representation.

研究の動機と目的

• ユニタリ表現理論に類似するが異なる、ヒルベルト空間上における不変的アフィン等長作用の体系的理論の構築。
• 可縮性の特徴づけを、可換子と固定点性質に注目した、シュールの補題のアフィン版を用いて行う。
• 与えられたユニタリ表現が、不変的アフィン作用の線形部として実現可能である条件を同定すること。
• 局所コンパクト群の直積における共コンパクト格の不変的アフィン作用に対して、超剛性を証明すること。
• 不変的アフィン作用の存在とL²ベッチ数、特に離散的ICC群Γのβ₁⁽²⁾(Γ)との関係を明らかにすること。

提案手法

• アフィンシュールの補題を導入：アフィン作用が不可約であるための必要十分条件は、その可換子が単なる平行移動のみからなること。
• コサイクル条件と全像特徴づけを用いる：任意のvに対して、g ↦ b(g) + π(g)v − v の像がHで稠密であるとき、不可約性が成立する。
• 連続アフィン写像のモノイドにおける可換子α(G)′の構造を解析し、αが不可約であることと、それが平行移動のみからなることは同値であることを示す。
• ノルム群およびアーベル群への適用：不可約作用は、Hにおける稠密像をもつホモモルフィズムb : G → Hから生じる。
• コホモロジー的道具の使用：H¹(G, π) ≠ 0 により、非コバウンダリーなコサイクルが存在し、これにより不変的アフィン作用が構成可能である。
• スペクトル的条件による拡張結果の証明：線形部が自明表現を弱く含まない限り、格からの不変的アフィン作用が全群へ拡張可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間上における不変的アフィン等長作用の不可約性の正確な特徴づけは何か？ そしてユニタリ不可約性とはどのように異なるか？
• RQ2 与えられたユニタリ表現πが、不変的アフィン作用の線形部として実現可能となる条件は何か？
• RQ3 共コンパクト格の不変的アフィン作用が、環境群への作用へ拡張可能となる条件は何か？
• RQ4 離散的ICC群Γに対して、第一L²ベッチ数β₁⁽²⁾(Γ)は、正則表現の倍数としての線形部をもつ不変的アフィン作用の存在とどのように関係するか？
• RQ5 無限次元において、軌道包摂条件の逆は成り立つか？ その反例は何か？

主な発見

• アフィン作用が不可約であるための必要十分条件は、任意のv ∈ Hに対して、コサイクルg ↦ b(g) + π(g)v − v がHにおいて稠密な像をもつことである。
• ノルム群およびアーベル群の不変的アフィン作用は、Hにおける稠密像をもつホモモルフィズムb : G → Hによって特徴づけられる。
• 共コンパクト格への制限において、不変的アフィン作用の不可約性は、アフィンシュールの補題により保たれる。
• 離散的ICC群Γに対して、第一L²ベッチ数β₁⁽²⁾(Γ)は、t ≥ 0 として、L(Γ)-加群の次元tが、ある不変的アフィン作用の線形部として現れるようなsupremumに等しい。
• Gが2つ以上の局所コンパクト群の直積であり、Γ ≤ Gが共コンパクトで不変的格であるとき、Γの不変的アフィン作用が、その線形部が自明表現を弱く含まない限り、Gへ拡張可能である。
• 無限次元において、非包摂軌道をもつRⁿ上での不変的アフィン作用が存在するが、有限次元では逆が成り立つ：不可約性は包摂軌道を意味する。