[論文レビュー] Irreducible cone spherical metrics and stable extensions of two line bundles

Lingguang Li, Jijian Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、種数 $ g_X \geq 1 $ のコンpakトなリーマン面における2つの線束の安定拡大と、$ 2\pi\mathbb{Z}_{>1} $ に属する尖度をもつ非可約錐球面計量との間に、標準的な全単射対応を確立する。インディジナスバンドルとヘルミート＝アインシュタイン計量を用いて、$ g_X \geq 2 $ の場合、偶数次元 $ d > 12g_X - 7 $ の有効除算子の空間が、ハウスドルフ次元が少なくとも $ 2(d + 3 - 3g_X) $ である弧状に連結なボレル集合をなすことを証明する。また、奇数次元 $ d > 2g_X - 2 $ の場合、ほとんどすべてのこのような除算子が有限個の非可約計量によって表現可能であることを示す。

ABSTRACT

A cone spherical metric is called irreducible if any developing map of the metric does not have monodromy in ${ m U(1)}$. By using the theory of indigenous bundles, we construct on a compact Riemann surface $X$ of genus $g_X \geq 1$ a canonical surjective map from the moduli space of stable extensions of two line bundles to that of irreducible metrics with cone angles in $2 \pi \mathbb{Z}_{>1}$, which is generically injective in the algebro-geometric sense as $g_X \geq 2$. As an application, we prove the following two results about irreducible metrics: $\bullet$ as $g_X \geq 2$ and $d$ is even and greater than $12g_X - 7$, the effective divisors of degree $d$ which could be represented by irreducible metrics form an arcwise connected Borel subset of Hausdorff dimension $\geq 2(d+3-3g_X)$ in ${ m Sym}^d(X)$; $\bullet$ as $g_X \geq 1$, for almost every effective divisor $D$ of degree odd and greater than $2g_X-2$ on $X$, there exist finitely many cone spherical metrics representing $D$.

研究の動機と目的

• 種数 $ g_X \geq 1 $ のコンパクトなリーマン面上における線束の安定拡大と非可約錐球面計量との間の対応を確立すること。
• 分岐除算子写像を用いた非可約錐球面計量のモジュライ空間の特徴付け。
• 代数幾何的技法を用いて、偶数次元および奇数次元の有効除算子を表現する非可約計量の存在および一意性問題を解明すること。
• 特に偶数次元および奇数次元の場合に、非可約計量によって表現可能な有効除算子の集合の次元および連結性に関する結果を証明すること。
• 従来のPDEに基づく手法が偶数次元ではバブル現象のため失敗するという限界を克服し、偶数次元および奇数次元の両方の除算子に対して錐球面計量を統一的に扱うこと。

提案手法

• インディジナスバンドル理論を用いて、2つの線束の安定拡大のモジュライ空間から、尖度が $ 2\pi\mathbb{Z}_{>1} $ に属する非可約錐球面計量のモジュライ空間への標準的な全単射写像を構成する。
• 分岐除算子写像 $ R(L_1, L_2) $ を定義する。これは、安定拡大の空間から $ |L_1^{-1} \otimes L_2 \otimes K_X| $ への実解析的写像であり、各拡大を関連する計量の除算子に送る。
• ランク2のベクトルバンドル $ E $ におけるヘルミート＝アインシュタイン計量を用いて、対応する非可約計量によって表現される有効除算子を特徴付ける。
• ベクトルバンドルの代数幾何とコホホロジーを用いて、$ g_X \geq 2 $ の場合、分岐除算子写像が一般に単射であり、奇数次元の除算子に対しては全射であることを証明する。
• ベクトルバンドル上の微分幾何を用いて分岐除算子写像の性質を確立し、その像が非可約計量によって表現可能なすべての有効除算子を含むことを証明する。
• 安定拡大のモジュライ空間の構造とその射影空間への埋め込みを用いて、分岐写像の像を分析し、次元および連結性に関する結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数 $ g_X \geq 2 $ のコンパクトなリーマン面上における線束の安定拡大と非可約錐球面計量との間の正確な対応関係は何か？
• RQ2 偶数次元 $ d > 12g_X - 7 $ の有効除算子について、非可約錐球面計量が存在する条件は何か？ また、そのような除算子の集合の位相的構造はどのようなものか？
• RQ3 奇数次元 $ d > 2g_X - 2 $ の有効除算子について、与えられた除算子を表現する非可約錐球面計量はいくつ存在するか？ その数は一様に有界か？
• RQ4 分岐除算子写像 $ R(L_1, L_2) $ を用いて、非可約計量によって表現可能なすべての有効除算子を特徴付けることができるか？ その像の幾何的性質は何か？
• RQ5 安定拡大が不安定なものに退化する極限において、分岐除算子写像はどのように振る舞うか？ これにより、可約計量が生じるおそれはあるか？

主な発見

• $ g_X \geq 2 $ の場合、非可約錐球面計量によって表現可能な偶数次元 $ d > 12g_X - 7 $ の有効除算子の集合は、$ \operatorname{Sym}^d(X) $ 内で、ハウスドルフ次元が少なくとも $ 2(d + 3 - 3g_X) $ である弧状に連結なボレル部分集合をなす。
• $ g_X \geq 1 $ であり、奇数次元 $ d > 2g_X - 2 $ の有効除算子 $ D $ について、ほとんどすべての $ D $ に対して、$ D $ を表現する非可約錐球面計量が有限個存在する。その数は $ d $ と $ g_X $ の関数として一様に有界である。
• 分岐除算子写像 $ R(L_1, L_2) $ は、$ \deg L_2 - \deg L_1 $ が奇数かつ正であるとき、$ |L_1^{-1} \otimes L_2 \otimes K_X| $ に全射であり、その像は非可約計量によって表現可能なすべての有効除算子を正確に含む。
• $ g_X \geq 2 $ の場合、安定拡大と非可約計量との間の対応は一般に単射であり、各計量に対して最大で $ 2^{2g_X} $ 個の逆像が存在する。
• 分岐除算子写像は、射影空間 $ \mathbb{P}(H^1(X, L_1 \otimes L_2^{-1})^s) $ のザリスキ開部分集合から $ |L_1^{-1} \otimes L_2 \otimes K_X| $ への実解析的写像であり、その像は非可約計量によって表現可能な有効除算子の集合に正確に一致する。
• 偶数次元の除算子に対する非可約計量の存在は、代数幾何的技法を用いて確立され、この場合PDEに基づくバブル法の失敗を克服した。