[論文レビュー] Irreducible factors of Weil representations and TQFT

Julien Korinman|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$Sp_{2g}(ℤ)$ のワイレ表現を偶数レベルで完全に既約因子に分解するものであり、奇数レベルでの先行結果を一般化している。$SU(2)$ および $SO(3)$ TQFT における量子表現が、素数冪でインデックス付けられた既約モジュールに分解されることを確立し、$p$ が 4 で割り切れないとき、フレームドリンクを含まない普遍的 TQFT 構成が標準的構成と同じ理論をもたらすことを示している。

ABSTRACT

We give the decomposition into irreducible factors of Weil representations of the symplectic groups at even levels, generalizing previous decompositions at odd levels. We then derive the decomposition of the quantum representations of SL2(Z) arising in the SU(2) and SO(3) TQFTs. As application we show that, when the level indexing the TQFT is not a multiple of 4, the universal construction applied to a cobordism category without framed links leads to the same TQFT.

研究の動機と目的

• 奇数レベルから偶数レベルへのワイレ表現の分解を拡張すること。
• ワイレ表現の分解を用いて、$SU(2)$ および $SO(3)$ TQFT における量子表現の構造を導出すること。
• レベル $p$ が 4 で割り切れないとき、フレームドリンクを含まない普遍的 TQFT 構成が標準的 TQFT を回復することを証明すること。
• 奇数部分モジュールとウィッテン＝レシティヒン＝トゥラエフ表現との間の正確な同型を確立すること。

提案手法

• フレームドリンクを含まないcobordism 圏に焦点を当てた、普遍的 TQFT の構成に基づくトポロジカルかつ代数的アプローチを用いる。
• 巡回的環上のワイレモジュールのテンソル積を分解するために、環同型 $\mu: \mathbf{k}_{ab} \to \mathbf{k}_a \otimes \mathbf{k}_b$ を適用する。
• 再帰的分解規則 $U_{r^{n+2}}^\otimes g$ を $U_{r^n}^\otimes g \oplus W_{r^{n+2}}^\otimes g$ に適用し、さらに偶数および奇数部分モジュールに分割する。
• $U_p^\otimes g$ および $W_{r^n}^\otimes g$ における明示的基底構成と内積計算を用いて、$SL_2(\mathbb{Z})$ における不変性と既約性を分析する。
• $V_p \cong U_p^-$ の同定を用いて、TQFT ベクトル空間構造をワイレ表現の成分に翻訳する。
• 3次元多様体におけるフレームドリンク成分の数に関する帰納法を用い、$4 \nmid p$ のとき、任意の TQFT ベクトルがフレームドリンクを含まずに表現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $Sp_{2g}(\mathbb{Z})$ のワイレ表現は、偶数レベルでどのように分解されるか。これは、既知の奇数レベルでの結果を一般化するものである。
• RQ2 $SU(2)$ および $SO(3)$ TQFT における $SL_2(\mathbb{Z})$ の量子表現の構造は、偶数レベルでどうなるか。
• RQ3 フレームドリンクを含まない普遍的 TQFT 構成が、標準的構成と同じ理論をもたらすのはどのようなときか。
• RQ4 ワイレ表現の奇数部分モジュール $U_p^-$ とウィッテン＝レシティヒン＝トゥラエフ表現との関係は何か。
• RQ5 レベル $p$ に対して、$SL_2(\mathbb{Z})$-不変部分空間 $X_p$ がモジュラー群の作用に関して閉じる条件は何か。

主な発見

• $p$ が奇数のとき、レベル $p$ のワイレ表現は $\sigma(p)$ 個の既約因子に分解され、$p$ が偶数のとき $\sigma(p/2)$ 個に分解される。
• 互いに素な $a,b \geq 2$ に対して、$Sp_{2g}(\mathbb{Z})$-モジュールとして $U_a^\otimes g \otimes U_b^\otimes g \cong U_{ab}^\otimes g$ が成り立つ。
• 素数冪に対して、$U_{r^{n+2}}^\otimes g \cong U_{r^n}^\otimes g \oplus W_{r^{n+2}}^\otimes g$ であり、$W_{r^{n+2}}$ は自由部分モジュールである。
• 既約因子は、$B_{r_i} \in \{U_{r_i}^{g,\pm}, W_{r_i^n}^{g,\pm}\}$ である $B_{r_1} \otimes \cdots \otimes B_{r_k}$ の形をとり、すべての因子は互いに同型でなく、既約である。
• $SU(2)$ および $SO(3)$ の量子表現は、レベル $p$ で、このような既約モジュールの直和に分解され、奇数部分モジュール $U_p^-$ はウィッテン＝レシティヒン＝トゥラエフ表現 $V_p$ と同型である。
• $4 \nmid p$ のとき、フレームドリンクを含まない普遍的 TQFT 構成は、標準的構成と同じ不変量を生成する。これは、$SL_2(\mathbb{Z})$-モジュール $V_p$ において $\Lambda_0 = \Lambda_1$ が成り立つからである。