[論文レビュー] Irreducible Function Bases of Isotropic Invariants of A Third Order Three-Dimensional Symmetric and Traceless Tensor

Yannan Chen, Shenglong Hu+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次3次元対称トレースレステンソルの任意の最小完全基底が、4つの不変量（次数2, 4, 6, 10）の間に多項式のシジージ関係が存在しない、非可約関数基底であることを証明している。具体的には、これらの不変量は代数的に独立である。この結果により、直交群作用下での等方的不変量の最小で代数的に独立な集合を構成することが確立された。

ABSTRACT

Third order three-dimensional symmetric and traceless tensors play an important role in physics and tensor representation theory. A minimal integrity basis of a third order three-dimensional symmetric and traceless tensor has four invariants with degrees two, four, six and ten respectively. In this paper, we show that any minimal integrity basis of a third order three-dimensional symmetric and traceless tensor is also an irreducible function basis of that tensor, and there is no polynomial syzygy relation among the four invariants of that basis, i.e., these four invariants are algebraically independent.

研究の動機と目的

• 3次3次元対称トレースレステンソルの最小完全基底が、非可約関数基底であるかどうかを特定すること。
• このような基底内の不変量の間に多項式のシジージ関係が存在するかどうかを調査すること。
• 次数2, 4, 6, 10の4つの基本不変量の代数的独立性を確立すること。
• テンソル不変量理論の知見をO(3)-安定性を有する基本的テンソル空間へ一般化すること。
• 対称トレースレステンソル系における完全基底と非可約関数基底の構造的関係を明確にすること。

提案手法

• 直交群O(3)が3次対称トレースレステンソル空間に作用するものとして、群表現論を用いる。
• コンpakト群作用下での有限次元実ベクトル空間における関数基底の基数に関する一般的上限を適用する。
• 不変量の勾配ベクトルの線形独立性を示すために、ヤコビアン行列式基準を用いる。これにより代数的独立性が示される。
• 不変量の間に非自明なシジージ関係が存在すると仮定し、その多項式が恒等的にゼロであると導くことで背理法を用いる。
• 多項式写像を用いて、異なる最小完全基底間のシジージ関係を変換し、ある基底にシジージが存在すれば、Smith-Bao基底に対しても同様に存在することを示す。
• 既知の最小完全基底の結果（Smith-Bao, 1997）を基盤として、非可約性および独立性の証明に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次3次元対称トレースレステンソルの任意の最小完全基底は、非可約関数基底であるか？
• RQ2 最小完全基底内の次数2, 4, 6, 10の4つの不変量の間に多項式のシジージ関係が存在するか？
• RQ3 最小完全基底内の不変量は、実数上において代数的に独立か？
• RQ4 等方的不変量の関数基底の基数は、テンソル空間と群作用の次元の差によって下限で抑えられるか？
• RQ5 最小完全基底の文脈において、基底変換の下でシジージ関係はどのように振る舞うか？

主な発見

• 3次3次元対称トレースレステンソルの任意の最小完全基底は、非可約関数基底である。
• 次数2, 4, 6, 10の4つの不変量は代数的に独立であり、それらの間に非自明な多項式のシジージ関係は存在しない。
• Smith-Baoの最小完全基底（次数2, 4, 6, 10の不変量を有する）は代数的に独立である。
• 証明は、不変量の勾配写像のヤコビアン行列式がゼロでないことに依拠しており、勾配の線形独立性を示唆する。
• 任意の最小完全基底にシジージが存在すれば、それはSmith-Bao基底に対しても存在することになり、これは不可能であるため、シジージは存在しない。
• この結果により、最小完全基底が完全であるだけでなく、代数的にも最小であることが確認され、余分な関係は存在しない。