[論文レビュー] Irreducible lattices fibring over the circle

Sam Hughes|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2022

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Bestvina–Brady群とRAAGに基づく構成を用いて、CAT(0)空間の積における、球面にほぼ代数的にファイバーする非可約な均一格子の存在を確立する。$<<\mathrm{CAT}(0)>$空間の積における格子について、仮想代数的ファイブレーションが可約性を意味するが、BNSR不変量を用いて、有限型の核をもつ明示的な非可約例を構成する。

ABSTRACT

We investigate the Bieri--Neumann--Strebel--Renz (BNSR) invariants of irreducible uniform lattices. In the case of a direct product of a tree and a Euclidean space we show that vanishing of the BNSR invariants for all finite-index subgroups of a given uniform lattice is equivalent to irreducibility. On the other hand we construct irreducible uniform lattices which admit maps to the integers whose kernels' finiteness properties are determined by the finiteness properties of certain Bestvina--Brady groups.

研究の動機と目的

• 非可約なCAT(0)空間の積における格子の仮想代数的ファイブレーションが可約性を意味するかどうかを特定すること。
• 有限型の核をもつ、非可約格子が球面にほぼ代数的にファイバーする明示的例の構成。
• 最小で非有界なCAT(0)空間の等距変換群の積における格子に対するBNSR不変量の理論の拡張。
• 文字の核の有限型性とそれらの格子構造との関係の明確化。

提案手法

• 右側アーティン群（RAAG）$A_L$がCAT(0)立方複体$\widetilde{X}_L$に作用するもとで、格子$\Gamma_L$を$A_L$の商として構成する。
• $\phi \in H^1(A_L; \mathbb{R})$によって誘導される高さ関数から、$\widetilde{X}_L$上の特徴$\psi \in H^1(\Gamma_L; \mathbb{R})$を定義する。
• Brownの基準を用いて、$\ker(\phi)$が型$\mathsf{F}_\infty$であるとき、$\ker(\psi)$が型$\mathsf{F}_\infty$（および$\mathsf{FP}_\infty$）であることを確認する。
• 既知のRAAGのBNSR不変量の結果を適用し、$\ker(\phi)$が有限型である条件を特定する。特に、旗複体$L^*$におけるリンク条件を用いる。
• $\Gamma_L$が非可約かつほぼねじれのないことを証明し、整数値特徴をもつ有限指数のねじれのない部分群の存在を保証する。
• $\ker(\psi)$が有限指数のねじれのない部分群に制限されたとき、型$\mathsf{F}$であることを確立する。これにより、仮想ファイブレーションが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約な均一格子が$\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n) \times \mathrm{Aut}(\mathcal{T})$に属する場合、仮想代数的ファイブレーションは可約性を意味するか？
• RQ2 CAT(0)空間の積における非可約格子が、有限型の核をもつ特徴をもつことができるか？
• RQ3 BNSR不変量は、このような格子における特徴の核の有限型性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 RAAGにおける特徴の核の有限型性は、積群における関連する格子へどのように伝わるか？
• RQ5 有限生成表示の核をもつ、球面にほぼ代数的にファイバーする非可約格子の構成は可能か？

主な発見

• 本稿は、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \times \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Q}_2)$における非可約な均一格子の明示的例を構成し、それが球面にほぼ代数的にファイバーすることを示す。
• $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n) \times \mathrm{Aut}(\mathcal{T})$における格子について、仮想代数的ファイブレーションは可約性を意味する。これは一般のファイブレーション問題に対する逆を確立する。
• 構成された格子$\Gamma_L$における特徴$\psi$の核は型$\mathsf{F}_\infty$である。有限指数のねじれのない部分群に制限すると、核は型$\mathsf{F}$である。
• $\ker(\psi)$の有限型性は、定理5.5における同値関係を通じて、関連するRAAG $A_L$のBNSR不変量によって決定される。
• 構成は、girthが4以上で、連結性があり、非自明な構造を持つ旗複体$L$に依存しており、これにより$A_L$が非可約であり、$\ker(\phi)$が型$\mathsf{F}$であることが保証される。
• このような格子の存在は、非可約格子が球面にファイバーできることを確認し、主たる問いに肯定的に答えている。