[論文レビュー] Irreducible polynomials over finite fields produced by composition of quadratics

D. R. Heath‐Brown, Giacomo Micheli|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限体上でのすべての関数的合成が非可約のままである動的非可約な二次多項式の集合を調査する。非平方反復を用いた動的非可約性の基準を確立し、体の拡張を用いて大きなこのような集合を構成し、時間計算量 $ O(r(/\log q)^3 q^{1/2}) $ で非可約性を効率的にテストするアルゴリズムを提供する。さらに、無限に多くの $ q $ に対して $ M(q) \geq \frac{1}{2}(\log q)^2 $ が成り立つことを証明する。

ABSTRACT

For a set $S$ of quadratic polynomials over a finite field, let $C$ be the (infinite) set of arbitrary compositions of elements in $S$. In this paper we show that there are examples with arbitrarily large $S$ such that every polynomial in $C$ is irreducible. As a second result, we give an algorithm to determine whether all the elements in $C$ are irreducible, using only $O( \#S (\log q)^3 q^{1/2} )$ operations.

研究の動機と目的

• 有限体上での二次多項式の集合を特徴づけ、すべての関数的合成が非可約となるような大きな集合を構成すること。
• ボストン＝ジョーンズの動的非可約性基準を複数の多項式およびモニックでない場合に拡張すること。
• このような合成によって生成される反復集合のサイズと構造を分析すること。
• 与えられた二次多項式の集合の動的非可約性を効率的にテストするアルゴリズムを開発すること。
• 有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上でのモニック二次多項式の動的非可約集合の最大サイズ $ M(q) $ の下界を確立すること。

提案手法

• 一般化された基準を用いる：モニック二次多項式の集合が動的非可約であるとは、すべての反復 $ (f_{i_1} \circ \cdots \circ f_{i_n})(c_j) $ が $ \mathbb{F}_q $ 内で非平方であるときに限る。
• 多項式を $ \mathbb{F}_p $ から $ \mathbb{F}_{p^p} $ への体の拡張に持ち上げることで、大きな動的非可約集合を構成する。この際、$ X^p - X - h $ の根を用いる。
• 反復集合の効率的な格納と照会を可能にするために赤黒木を適用し、挿入および属するかのチェックを対数時間で行えるようにする。
• 反復の幅優先探索を実行し、平方が現れた場合や新しい値が生成されなくなった場合に早期に停止する。
• 反復集合のサイズに上限 $ 4(\log q)^2 \sqrt{q} $ が存在することを用いて、停止性と計算量の上限を確立する。
• $ x^{(q-1)/2} \equiv 1 \pmod{q} $ を用いた体演算と平方判定により、非平方状態を効率的に特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上での二次多項式の集合が、すべての関数的合成において非可約のままであるための条件は何か？
• RQ2 有限体上での大きな動的非可約二次多項式集合を明示的に構成できるか？
• RQ3 反復集合 $ (f_{i_1} \circ \cdots \circ f_{i_n})(c_j) $ のサイズはどのように増加し、その上限をどの程度まで設定できるか？
• RQ4 与えられた二次多項式の集合が動的非可約であるかどうかを効率的にテストするアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 $ M(q) $、つまり $ \mathbb{F}_q $ 上でのこのような集合の最大サイズの漸近的成長はどのようになるか？

主な発見

• 有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上のモニック二次多項式の集合が動的非可約であるための必要十分条件は、すべての反復 $ (f_{i_1} \circ \cdots \circ f_{i_n})(c_j) $ が $ \mathbb{F}_q $ 内で非平方であることである。
• $ p \equiv 1 \pmod{4} $ のとき、$ \mathbb{F}_{p^p} $ 上で $ f_{b,c}(X) = (X - b - \xi)^2 + c + \xi $ と定義し、$ \mathbb{F}_p $ 内で $ h $ が非平方であれば、サイズ $ p^2 $ の動的非可約集合が得られる。
• このようなすべての反復の集合のサイズは、多項式の個数 $ r $ に依存しない形で $ 4(\log q)^2 \sqrt{q} $ で抑えられる。
• 最大サイズ $ M(q) $ は、無限に多くの $ q $ に対して $ M(q) \geq \frac{1}{2}(\log q)^2 $ を満たし、明示的な構成により $ M(p^p) \geq p^2 $ を達成できる。
• 動的非可約性をテストするアルゴリズムは、$ O(r(\log q)^3 q^{1/2}) $ の体演算で実行され、$ O((\log q)^2 \sqrt{q}) $ の記憶領域を必要とする。
• アルゴリズムは最大で $ 4(\log q)^2 \sqrt{q} $ 回の反復で停止し、正しさと効率性が保証される。