[論文レビュー] Irreducible Representations of Bost-Connes systems

Takuya Takeishi|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の数体 $K$ における Bost-Connes $C^*$-代数の表現論的分類を提供し、可約表現の次元が正確に狭義類数 $h_K^1$ に一致することを示し、$C^*$-代数の新たな不変量として位置づけている。この手法は、$\mathbb{Q}$ における Laca と Raeburn の研究を一般化し、原始的理想空間とノルム群の双対上の力学系を用いて、作用素代数的構造から数論的データを回復する。

ABSTRACT

The classification problem of Bost-Connes systems was studied by Cornellissen and Marcolli partially, but still remains unsolved. In this paper, we will give a representation-theoretic approach to this problem. We generalize the result of Laca and Raeburn, which concerns with the primitive ideal space on the Bost-Connes system for $\mathbb{Q}$. As a consequence, the Bost-Connes $C^*$-algebra for a number field $K$ has $h_K^1$-dimensional irreducible representations and does not have finite-dimensional irreducible representations for the other dimensions, where $h_K^1$ is the narrow class number of $K$. In particular, the narrow class number is an invariant of Bost-Connes $C^*$-algebras.

研究の動機と目的

• 任意の数体 $K$ における Bost-Connes $C^*$-代数の可約表現を分類すること。これは、既存の $\mathbb{Q}$ に関する結果を拡張することを目的とする。
• Bost-Connes $C^*$-代数 $A_K$ の不変量として狭義類数 $h_K^1$ を確立すること。
• $\mathbb{Q}$ における原始的理想空間の記述を、任意の数体へ一般化すること。
• ノルム群 $P_K^1$ の双対上の力学系 $\sigma_{t,K}$ がノルム写像を回復できることを示し、それによって数論的不変量が得られることを示すこと。

提案手法

• アーベル群による交叉積の原始的理想空間に関する Williams の定理を用いて、Laca と Raeburn が $A_\mathbb{Q}$ に対して得た結果を一般化する。
• $\tilde{A}_K = C_0(X_K) \rtimes J_K$ という非単位元の交叉積のフルコーナーとして Bost-Connes $C^*$-代数 $A_K$ を構成する。
• $Y_K = \hat{\mathcal{O}}_K \times_{\hat{\mathcal{O}}_K^*} G_K^{\mathrm{ab}}$ 上における理想半群 $I_K$ の作用を通じて、$A_K$ の原始的理想空間を分析する。
• $A_K$ 上の $\mathbb{R}$-作用 $\sigma_{t,K}$ 及びその原始的理想空間への誘導作用を調べ、$\hat{P}_K^1$ 上の力学系を導出する。
• $\hat{P}_K^1$ 上の流れ $\sigma_{t,K}$ を用いて、$\mathbb{R}$--equivariant なホメオモーティズムによりノルム写像 $N: P_K^1 \to \mathbb{Q}_+^*$ を再構成する。
• $\hat{P}_K^1$ の力学系の $\mathbb{R}$-equivariant 同型が、ノルムを保存する群同型を誘導することを証明し、代数的数論と作用素代数を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 狭義類数 $h_K^1$ は、Bost-Connes $C^*$-代数 $A_K$ の不変量として回復可能か？
• RQ2 $K$ を数体として、$A_K$ の原始的理想空間は、$K=\mathbb{Q}$ の既知の構造を一般化するか？
• RQ3 ノルム群 $P_K^1$ 上のノルム写像は、$\mathbb{R}$-作用を伴う力学系 $\hat{P}_K^1$ から再構成可能か？
• RQ4 原始的理想空間の $\mathbb{R}$-equivariant 構造は、非同型数体に対する Bost-Connes システムを区別するのに十分か？

主な発見

• Bost-Connes $C^*$-代数 $A_K$ は $h_K^1$ 次元の可約表現をもち、それ以外の次元の有限次元可約表現は持たない。
• 狭義類数 $h_K^1$ は、$C^*$-代数 $A_K$ の不変量であり、デデキンドゼータ関数とは独立している。
• 同型なゼータ関数をもつが、狭義類数が異なる数体が存在することから、$h_K^1$ は非自明な不変量であることが示された。
• 無限次元トーラス $\hat{P}_K^1$ 上の力学系 $(\hat{P}_K^1, \sigma_{t,K})$ は $A_K$ の不変量である。
• $\mathbb{R}$-作用 $\sigma_{t,K}$ を用いた $\mathbb{R}$-equivariant なホメオモーティズムにより、ノルム写像 $N: P_K^1 \to \mathbb{Q}_+^*$ を再構成可能である。
• 二次体の場合、素数の非分裂性は $\hat{P}_K^1$ の力学系によって決定され、このようなすべての Bost-Connes システムは互いに同型でない。