[論文レビュー] Irreducible Representations of C*-crossed products by Finite Groups

Alvaro Arias, Frédéric Latrémolière|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、単位元をもつC*-代数$A$および有限群$G$に対し、C*-交叉積$A \rtimes_\alpha G$の非可約表現の完全な特徴付けを提供する。非可約表現は、$A$の非可約表現および$G$におけるそれらの安定化部分群から生じることを示している。主な結果として、有限巡回群の場合、非可約表現はいずれかが最小（$A$への制限が非可約）であるか、同値な共役を持つ表現からの誘導である。固定点代数を用いた構造的記述が完全に行われる。

ABSTRACT

We describe the structure of the irreducible representations of crossed products of unital C*-algebras by actions of finite groups in terms of irreducible representations of the C*-algebras on which the groups act. We then apply this description to derive a characterization of irreducible representations of crossed-products by finite cyclic groups in terms of representations of the C*-algebra and its fixed point subalgebra. These results are applied to crossed-products by the permutation group on three elements and illustrated by various examples.

研究の動機と目的

• 単位元をもつC*-代数$A$および有限群$G$に対し、$A \rtimes_\alpha G$の非可約表現の構造を理解すること。
• 先行研究の$\mathbb{Z}_2$作用の結果を任意の有限群に一般化すること。
• 特に巡回群および対称群に対して、非可約表現を$A$の非可約表現およびそれらの$G$内での安定化部分群の観点から特徴づけること。
• 巡回群の場合における固定点C*-部分代数の役割を明確にすること。
• $\mathfrak{S}_3$作用の明示的構成と例示を通し、$A$への制限が非可約でない非最小表現を提示すること。

提案手法

• 任意の$A \rtimes_\alpha G$の非可約表現$\Pi$に対して、$\Pi(A)'$が有限次元であることを示すために、Mackeyの方法と可換子解析を用いる。
• コンパクト群のエルゴディック作用に関するHoegh-Krohn–Landstad–Stormer定理を応用し、$\Pi(A)'$の有限次元性を導出する。
• 与えられた$A$の非可約表現$\pi$を安定化する部分群$H \leq G$（$\pi \cong \pi \circ \alpha_h$を満たす$h \in H$）から、誘導による非可約表現を構成する。
• ヒルベルト空間の分解$\mathcal{H} = \bigoplus \mathcal{H}_i$における一般化された置換作用素を用い、$\Pi$下での群ユニタリ作用をモデル化する。
• $\mathfrak{S}_3$-交叉積の明示的行列構成を、$\omega = \exp(2\pi i/3)$およびブロック対角作用素を用いて行い、群関係を実現する。
• 群関係からの対称性制約を用い、可換子解析により非可約性を検証し、像に可換する演算子が恒等作用素のスカラー倍に限られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群$G$および単位元をもつC*-代数$A$に対し、$A$が型Iであるか、作用が滑らかであると仮定しない状況で、$A \rtimes_\alpha G$の非可約表現をどのように分類できるか。
• RQ2 非可約表現$A \rtimes_\alpha G$と$A$およびその固定点部分代数の非可約表現との間の正確な構造的関係は何か。
• RQ3 有限巡回群の場合、$A \rtimes_\alpha G$の非可約表現は、$A$の表現およびそれらの安定化部分群を用いて完全に特徴づけられるか。
• RQ4 非アーベル群（例：$\mathfrak{S}_3$）の場合にはどうなるか。非可約表現を明示的に構成できるか。また、巡回群の場合とはどのように異なるか。
• RQ5 非可約表現$\widetilde{\Pi}$の$A$への制限が多重度を持たない例を構成できるか。これにより、一般枠組みの必要性が示される。

主な発見

• 任意の有限群$G$に対し、$A \rtimes_\alpha G$の任意の非可約表現$\Pi$は、$A$の非可約表現$\pi$から生じる。ここで、$\pi$の安定化部分群$H = \{h \in G \mid \pi \cong \pi \circ \alpha_h\}$は$G$の部分群であり、$\Pi$は$A \rtimes_\alpha H$の表現からの誘導である。
• $\Pi(A)'$は有限次元であり、これは$G$による$\Pi(A)'$のエルゴディック作用および[7]のスペクトル部分空間定理の結果である。
• 有限巡回群の場合、$A \rtimes_\alpha G$の非可約表現は、いずれかが最小（$A$への制限が非可約）であるか、生成元$g$に対して$\pi$と$\pi \circ \alpha_g$が同値でないような$A$の表現$\pi$からの誘導である。
• $\mathfrak{S}_3$の場合、$A \rtimes_\alpha \mathfrak{S}_3$の非可約表現$\widetilde{\Pi}$が存在し、$\widetilde{\Pi}|_A$は$A$の同値な非可約表現の直和である。これは、巡回群の場合の結果が非アーベル群に拡張されないことを示している。
• 明示的な例として、$\widetilde{\Pi}(x) = \begin{bmatrix} \pi(x) & 0 \\ 0 & \pi(\alpha_\tau(x)) \end{bmatrix}$（$\pi \cong \pi \circ \alpha_\tau$）を構成し、$A$への制限が多重度2を持つにもかかわらず、$\widetilde{\Pi}$は非可約である。
• $\widetilde{\Pi}$の非可約性は、$W_\eta^3 = 1$、$W_\tau^2 = 1$、$W_\tau W_\eta W_\tau = W_\eta^2$の関係および$W\_\tau$-不変性からの対称性制約を用い、可換子内の任意の演算子がスカラーに限られることを示すことによって証明される。