[論文レビュー] Irreducible representations of product of real reductive groups

Dmitry Gourevitch, Alexander Kemarsky|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実再帰的群 $G_1 \times G_2$ の任意の不可約で滑らかかつ適切な表現が、$G_1$ および $G_2$ の不可約で滑らかかつ適切な表現の完備化されたテンソル積に一意に分解されることを確立する。証明は、ハリシュ・チャンドラモジュールと滑らかな表現の間のカスエルマン＝ウォラック同値性に依拠し、既知のテンソル積の不可約性に関する結果を拡張することで、積群における不可約性が因子化を意味することを示す。主要な系として、群の対 $H \subset G$ における強いゲルファンド性質と、対角部分群 $ abla H \subset G \times H$ における通常のゲルファンド性質の同値性が示される。これは、実再帰的群の表現論における構造的問題を解決する。

ABSTRACT

Let $G_1,G_2$ be real reductive groups and $(π,V)$ a smooth, irreducible, admissible representation of $G_1 imes G_2$. We prove that $(π,V)$ is the completed tensor product of $(π_i,V_i)$, $i=1,2$, where $(π_i,V_i)$ is a smooth,irreducible,admissible representation of $G_i$, $i=1,2$. We deduce this from the analogous theorem for Harish-Chandra modules, for which one direction was proven in [AG] and the other direction we prove here. As a corollary, we deduce that strong Gelfand property for a pair $H \subset G$ of real reductive groups is equivalent to the usual Gelfand property of the pair $ΔH \subset G imes H$.

研究の動機と目的

• 実再帰的リー群の積の不可約で滑らかかつ適切な表現の構造的分類を確立すること。
• このような表現が因子上の不可約表現の完備化されたテンソル積に分解されることを証明すること。
• ハリシュ・チャンドラモジュールのテンソル積の不可約性に関する既知の結果を、滑らかな表現の全カテゴリにまで拡張すること。
• 分解結果を応用して、対角部分群を用いて多重度1対およびゲルファンド対を特徴付けること。
• 対角埋め込みを介して、強いゲルファンド性質と標準的ゲルファンド性質の同値性を確立すること。

提案手法

• カスエルマン＝ウォラック同値性を用いて、$G_i$ の滑らかな表現を $(\mathfrak{g}_i, K_i)$-モジュール、すなわちハリシュ・チャンドラモジュールに関連付ける。
• 有限長および適切性の議論を用いて、$\mathfrak{g}_1 \times \mathfrak{g}_2$ の任意の不可約ハリシュ・チャンドラモジュールが、$\mathfrak{g}_1$ および $\mathfrak{g}_2$ の不可約モジュールのテンソル積に同型であることを証明する。
• 滑らかな表現における $K$-有限ベクトルがハリシュ・チャンドラモジュールをなすこと、および $K$-有限関手が同値であるという事実を活用する。
• 表現空間内の $K$-型を特定し、作用の可換性を用いて各因子群からの成分を分離することで、因子化を構成する。
• カスエルマンの埋め込み定理を用いて、不可約ハリシュ・チャンドラモジュールが主系列に埋め込まれることを示し、有限長の議論を支援する。
• カスエルマン＝ウォラックグローバライゼーションを用いて、完備化されたテンソル積構造を滑らかな表現にまで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $G_1 \times G_2$ の不可約で滑らかかつ適切な表現は、$G_1$ および $G_2$ の不可約で滑らかかつ適切な表現の完備化されたテンソル積として表現可能か？
• RQ2 $G_1$ および $G_2$ の不可約滑らかな表現の完備化されたテンソル積は、$G_1 \times G_2$ において自身で不可約か？
• RQ3 実再帰的群の対 $H \subset G$ における強いゲルファンド性質は、対角対 $ abla H \subset G \times H$ における通常のゲルファンド性質に対応するか？
• RQ4 積群の不可約表現の構造は、ハリシュ・チャンドラモジュールの表現論とどのように関係するか？
• RQ5 群 $G$ の表現上の $H$-不変汎関手と、群 $G \times H$ の表現上の $\nabla H$-不変汎関手との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の $G_1 \times G_2$ の不可約で滑らかかつ適切な表現は、$G_1$ および $G_2$ の不可約で滑らかかつ適切な表現の完備化されたテンソル積に同型であり、完全な因子化が確立される。
• $G_1$ および $G_2$ の不可約滑らかな表現の完備化されたテンソル積は、$G_1 \times G_2$ において自身で不可約であり、既知の結果の逆が確認される。
• $\mathfrak{g}_1 \times \mathfrak{g}_2$ の不可約ハリシュ・チャンドラモジュールの分解 $M_1 \otimes M_2$（$M_i$ は $\mathfrak{g}_i$-モジュールで不可約）が証明され、先行研究が拡張される。
• $H \subset G$ における強いゲルファンド性質が成り立つための必要十分条件は、対 $(G \times H, \nabla H)$ がゲルファンド対であることである。構造的同値性が得られる。
• 群 $G$ の表現 $\pi$ 上の $H$-不変汎関手の空間は、$\pi \otimes \widetilde{\tau}$ 上の $\nabla H$-不変汎関手の空間と自然に同型である。ここで $\widetilde{\tau}$ は $\tau$ の対偶表現である。この同型により、双対性の橋渡しが確立される。
• 証明はカスエルマン＝ウォラック同値性および滑らかな表現における $K$-有限ベクトルがハリシュ・チャンドラモジュールをなすことの事実に依拠しており、カテゴリ間での結果の移行が可能になる。