[論文レビュー] Irreducible representations of untwisted affine Kac-Moody algebras

Xiangqian Guo, Kaiming Zhao|arXiv (Cornell University)|May 17, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ループモジュラと特別な性質を有するモジュラを組み合わせることで、最高ウェイトモジュラおよびホイットカー・モジュラを一般化する、非自明な不変モジュラの新クラスを、非-twistedアフィン・カク＝ムーディ代数上に構成する。各正ルートベクトルの作用が局所的有限であるような不変モジュラの完全分類を提供し、整形式最高ウェイトモジュラとループモジュラのテンソル積の単純性に関する必要十分条件を確立する。

ABSTRACT

In this paper we construct a class of new irreducible modules over untwisted affine Kac-Moody algebras $\widetilde{\mathfrak{g}}$, generalizing and including both highest weight modules and Whittaker modules. These modules allow us to obtain a complete classification of irreducible $\widetilde{\mathfrak{g}}$-modules on which the action of each root vector in $\widetilde{\mathfrak{n}}_+$ is locally finite, where $\widetilde{\mathfrak{n}}_+$ is the locally nilpotent subalgebra (or positive part) of $\widetilde{\mathfrak{g}}$. The necessary and sufficient conditions for two such irreducible $\widetilde{\mathfrak{g}}$-modules to be isomorphic are also determined. In the second part of the paper, we use the "shifting technique" to obtain a necessary and sufficient condition for the tensor product of irreducible integrable loop $\widetilde{\mathfrak{g}}$-modules and irreducible integrable highest weight $\widetilde{\mathfrak{g}}$-modules to be simple. This tensor product problem was originally studied by Chari and Pressley 28 years ago.

研究の動機と目的

• 非自明な不変モジュラを、最高ウェイトモジュラおよびホイットカー・モジュラの両方を一般化する形で、非-twistedアフィン・カク＝ムーディ代数上に構成すること。
• 正部分代数に属する各ルートベクトルの作用が局所的有限であるようなすべての不変モジュラを分類すること。
• 整形式最高ウェイトモジュラとループモジュラのテンソル積の不変性が成り立つ必要十分条件を特定すること。
• 有限次元のウェイト空間にとどまらず、無限次元の場合を含めた不変モジュラの分類を拡張すること。
• チャリとプレッセリーが28年前に提起した、このようなテンソル積の単純性に関する長年の未解決問題を解決すること。

提案手法

• 可約な評価モジュラ $\mathfrak{g} \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ と特別な性質（例えば最高ウェイトまたはホイットカー）を有するモジュラ $L$ のテンソル積からの誘導により、新規の不変モジュラを構成する。
• 誘導モジュラ $\mathrm{Ind}_{\widehat{\mathfrak{g}}}^{\widetilde{\mathfrak{g}}}(E \otimes L)$ を用いて、$\widetilde{\mathfrak{g}}$-不変モジュラを生成する。
• 整形式最高ウェイトモジュラとループモジュラのテンソル積の構造を解析するために「シフト技法」を適用する。
• 特定のウェイト空間における次元比較を通じて、$e \otimes t^{-1}$ の作用がウェイト空間に与える影響を分析し、不変性の条件を特定する。
• 特に、$ (e \otimes t^{-1})^j (V(\epsilon) \otimes V(2\epsilon)) $ の明示的計算を用いて、$ W^{(j)} = W $ となる条件を評価し、不変性の鍵となる基準を評価する。
• ヴェルマ型モジュラ、非標準的ルート系分割から得られるボレル部分代数、およびウェイト空間分解といった表現論的道具を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正部分代数 $\widetilde{\mathfrak{n}}_+$ に属する各ルートベクトルの作用が局所的有限であるような不変 $\widetilde{\mathfrak{g}}$-モジュラの完全分類は何か？
• RQ2 整形式最高ウェイトモジュラと整形式ループモジュラのテンソル積が単純である条件は何か？
• RQ3 評価モジュラと特別な $\widehat{\mathfrak{g}}$-モジュラから構成された誘導モジュラの不変性は、明示的なウェイト空間次元比較によって特定できるか？
• RQ4 $\kappa(\boldsymbol{\lambda}, \mathbb{a}, \Lambda)$ という、不変性を制御する関数は、パラメータ $\boldsymbol{\lambda}, \mathbb{a}, \Lambda$ にどのように依存するか？
• RQ5 $\kappa(\boldsymbol{\lambda}, \mathbb{a}, \Lambda)$ に対して、最高ウェイトおよびパラメータ $a_i$ の関数としての明示的公式は存在するか？

主な発見

• 本論文は、$\widetilde{\mathfrak{n}}_+$ に属する各ルートベクトルの作用が局所的有限であるような不変 $\widetilde{\mathfrak{g}}$-モジュラの完全分類を提供し、最高ウェイトモジュラ、ホイットカー・モジュラ、および新しい非ウェイト・モジュラを含む。
• $\mathfrak{sl}_2^{(1)}$ に対して、$E((\epsilon,2\epsilon);(a_1,a_2);b) \otimes \widetilde{V}(i\epsilon + k\Lambda_0)$ の不変性は、$W^{(k-i+1)} = W$ であるときにかつそのときに限り成り立つ。ここで $W^{(j)}$ は $ (e \otimes t^{-1})^j (V(\epsilon) \otimes V(2\epsilon)) \otimes u $ の張る空間である。
• $i=0$ の場合、すべての相異なる $a_1, a_2 \in \mathbb{C}^*$ に対して $\kappa((\epsilon,2\epsilon);(a_1,a_2);0) = 2$ であり、これはテンソル積が $k=1$ のみで不変であることを意味する。
• $i=1$ の場合、$\kappa((\epsilon,2\epsilon);(a_1,a_2);\epsilon) = 2$ であるため、不変性は $k=1$ のみで成立する。
• $i \geq 2$ の場合、$\kappa((\epsilon,2\epsilon);(a_1,a_2);i\epsilon) = i$ であり、$k \geq i$ のとき不変性が成立しないことを示す。
• $\kappa$ はパラメータ $a_1$ および $a_2$ に依存しないことが示され、不変性条件における驚くべき不変性が明らかになった。