[論文レビュー] Irregular Hamiltonian Systems

Olivera Mišković, Jorge Zanelli|ArXiv.org|Jan 31, 2003

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、線形従属な制約を持つ系（標準的ディラック手続きが失敗する系）に対して、線形、多重線形、高次制約の3種類に分類する体系的な枠組みを構築する。元のラグランジュ系と力学的に同等となるように修正されたハミルトニアン手法を提供し、高次制約を線形制約に置き換えることができる条件は、その結果得られる制約が第二類である場合に限ることを示している。そうでない場合、元のラグランジュ系は力学的に不整合である。

ABSTRACT

Hamiltonian systems with linearly dependent constraints (irregular systems), are classified according to their behavior in the vicinity of the constraint surface. For these systems, the standard Dirac procedure is not directly applicable. However, Dirac's treatment can be slightly modified to obtain, in some cases, a Hamiltonian description completely equivalent to the Lagrangian one. A recipe to deal with the different cases is provided, along with a few pedagogical examples.

研究の動機と目的

• 線形従属な制約（不規則系）を持つ系において、ディラックの標準的ハミルトニアン手続きが失敗する問題に対処すること。
• 制約面近傍での挙動に基づいて、不規則な制約を線形、多重線形、高次制約に分類すること。
• 元のラグランジュ記述と力学的に同等となるように、ハミルトニアン解析を修正する体系的な手順を提供すること。
• 高次制約を線形制約に置き換えることで物理的に同等の系が得られる条件と、そうでない条件を明確にすること。

提案手法

• 不規則な制約を3つのカテゴリに分類する：線形（定数ランク欠損）、多重線形（交点での単純な零点）、高次（線形近似が不可能、例：$\phi = C(z^s - \bar{z}^s)^k$）。
• 多重線形制約については、故障点で元の制約面と整合する正則な線形制約集合$\varphi^i \approx 0$に置き換える。
• 高次制約については、$\phi \approx 0$を$\chi = \phi^{1/k} \approx 0$に置き換える手法を提案するが、$\chi$が第二類制約である場合に限る。
• 正則性の判定基準としてヤコビアンのランク$\Re(J)$を用い、制約面$\Sigma$上で$\Re(J) < R$となる場合に失敗が生じる。
• 例として$L = \dot{x}\dot{z} + yz^2$を適用し、$z^2 \approx 0$を単に$z \approx 0$に置き換えると物理的自由度の数が変化することを示す。
• 線形化された制約$\chi$が第一類か第二類かをチェックすることで、力学的同等性を確認する。第二類に限って、元の力学が保存される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次制約$\phi = C(z^s - \bar{z}^s)^k \approx 0$を$\chi = \phi^{1/k} \approx 0$に線形制約に置き換えると、物理的力学が変わらない条件は何か？
• RQ2 ハミルトニアン系で$z^2 \approx 0$を$z \approx 0$に置き換えると、元のラグランジュ記述とは異なる物理的自由度の数が得られるのはなぜか？
• RQ3 制約面近傍での局所的挙動に基づいて、不規則な制約を体系的に分類する方法は何か？
• RQ4 不規則な制約の集合が幾何学的に正則な集合と同等であるのはいつで、その同等性が力学的に失敗するのはいつか？
• RQ5 高次制約から得られる線形化された制約が第一類か第二類かを決定するのは何に依存するのか。この区別が力学に与える影響はなぜ重要なのか？

主な発見

• 多重線形制約（例：$\phi = qp \approx 0$）は、故障点で$\{q \approx 0, p \approx 0\}$という正則な線形制約集合に置き換えることができ、これによりディラック手続きの適用が回復される。
• 高次制約（例：$\phi = z^2 \approx 0$）を$\chi = z \approx 0$に置き換えると、物理的自由度がゼロの系が得られ、元のラグランジュ記述（物理的自由度が1つ）とは矛盾する。
• 置換$\chi = \phi^{1/k} \approx 0$が力学的に同等な系を与えるのは、$\chi$が第二類制約である場合に限る。$\chi$が第一類の場合、元のラグランジュ系とは力学が異なる。
• ヤコビアンのランク$\Re(J)$が正則性を決定する：$\Sigma$上で$\Re(J) < R$となる場合に失敗が生じる。これは部分多様体上または全体的に発生しうる。
• 正則性が全体的に失敗する場合（例：$L = \dot{x}\dot{z} + yz^2$の例で$\Re(J) = 1 < R = 2$）、標準的線形化による正則化は力学を変えることなく不可能である。
• 高次制約$\phi \approx 0$が$\chi \approx 0$と力学的に同等であるのは、$\chi$が第二類である場合に限る。そうでない場合、元のラグランジュ系は力学的に不整合とみなされる。