[論文レビュー] Irregular Singularities in the H3+ WZW Model

Davide Gaiotto, Joël Lamy-Poirier|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$H_3^+$ WZW模型における不規則な頂点演算子の体系的な定義を提案し、以前のバーチャルスローアルジュラ不規則なベクトルに関する研究を一般化する。標準的な最高重層演算子の衝突極限を用いて、ランク-$r$ 不規則なベクトルのウォード恒等式と自己相関関数を導出し、リーマン理論との双対性を確立するとともに、不規則な演算子を含む相関関数の明示的表現を提供する。

ABSTRACT

We propose a definition of irregular vertex operators in the H3+ WZW model. Our definition is compatible with the duality [1] between the H3+ WZW model and Liouville theory, and we provide the explicit map between correlation functions of irregular vertex operators in the two conformal field theories. Our definition of irregular vertex operators is motivated by relations to partition functions of N=2 gauge theory and scattering amplitudes in N=4 gauge theory

研究の動機と目的

• Liouville–$H_3^+$双対性と整合するように、$H_3^+$ WZW模型における不規則な頂点演算子を定義すること。
• $\mathrm{Virasoro}$代数からの不規則なベクトルの形式的枠組みを、$\widehat{sl}(2)$電流代数へ一般化すること。
• 標準的頂点演算子の衝突極限を通じて、ランク-$r$ 不規則な演算子の明示的ウォード恒等式と自己相関関数を導出すること。
• $H_3^+$ WZW模型における不規則な演算子を含む相関関数とリーマン理論におけるそれらの間の写像を確立すること。
• 不規則な特異点をモデル化できる不規則な自己相関関数の枠組みを提供すること。これは、$\mathcal{N}=4$ SYM散乱振幅に関連する。

提案手法

• $H_3^+$ WZW模型における、$r+1$ 個の標準的最高重層頂点演算子の衝突極限として不規則な頂点演算子を定義する。
• $H_3^+$ WZW理論とリーマン理論の双対性を用いて、不規則な演算子を含む相関関数を写像する。
• 半古典的領域における$\Upsilon_b$関数および三重項構造定数の漸近的解析を適用し、衝突極限を計算する。
• $\widehat{sl}(2)$電流代数の構造を用いて、不規則な自己相関関数のウォード恒等式を導出する。
• 二重積分$D^H$における変数変換を用いて、ランク2不規則ベクトルの1点関数を評価し、放物型円筒関数の積分に帰着させる。
• 衝突極限の結果と直接計算による不規則ベクトルの1点関数を一致させることで、正規化係数$C(j_0)$を固定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$H_3^+$ WZW模型における不規則な頂点演算子を、$\mathrm{Virasoro}$の場合を一般化して一貫的に定義できるか？
• RQ2 $\widehat{sl}(2)$電流代数における不規則な演算子を含む自己相関関数が満たすウォード恒等式の正確な形は何か？
• RQ3 $H_3^+$ WZW模型における不規則な演算子の相関関数は、既知の双対性を通じてリーマン理論におけるそれらとどのように関係するか？
• RQ4 $H_3^+$模型におけるランク2不規則ベクトルの1点関数の明示的構造は何か？
• RQ5 標準的頂点演算子の衝突極限が、ゲージ理論および超弦理論における既知の物理的解釈を持つ不規則な自己相関関数を一貫して得られるか？

主な発見

• ランク2不規則ベクトルの$H_3^+$ WZW模型における1点関数は、放物型円筒関数の積分として表される：$\int_{\mathcal{C}} d\eta d\bar{\eta}~{}|\eta|^{-2(j_0+2)} e^{-\frac{1}{2}\eta^2 + \frac{1}{2}\bar{\eta}^2 - u\eta + u^*\bar{\eta}}$、ここで$u$は3.1節で定義される。
• 衝突極限における構造定数$C^H(j^1,j^2,j^3)$の漸近的挙動は、$|q_{ij}|$にべき乗依存性を示し、$D^H$積分と相殺されて有限な結果をもたらす。
• ランク2不規則ベクトルの正規化係数$C(j_0)$は、衝突極限の結果と直接計算の一致により固定され、一貫性が確認された。
• $H_3^+$ WZW理論とリーマン理論の双対写像は、不規則な演算子を含むように一般化され、既知の三重項構造定数の構造を保った。
• 半古典的極限における$\Upsilon_b$関数の使用により、構造定数の漸近的挙動が導出され、衝突極限に不可欠な役割を果たした。
• 1点関数の最終的な表現には、不規則演算子の複素構造を反映する位相因子$e^{2i(b^2(j_0+2)+1)\text{Im}(j_1^2/j_2)}$が含まれる。