[論文レビュー] Irreps and Off-shell Invariant Actions of the N-extended Supersymmetric Quantum Mechanics

Francesco Toppan|ArXiv.org|Oct 16, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、クリフォード代数とカイレー・ディクソン構成を用いて、N-拡張1次元超対称性代数の既約表現を分類し、特に分割代数の構造定数（特にオクタニオンのもの）が、N=8超対称量子力学のオフシェル・不変作用素に結合定数として現れるのを示している。さらに、N=16までの高次N超対称性はセデニオンと関連づけられ、M理論の低エネルギー極限としての11次元超重力理論の定式化における役割が示唆されている。

ABSTRACT

The complete classification of the irreducible representations of the N-extended one-dimensional supersymmetry algebra linearly realized on a finite number of fields is presented. Off-shell invariant actions of one-dimensional supersymmetric sigma models are constructed. The role of both Clifford algebras and the Cayley-Dickson's doublings of algebras in association with the N-extended supersymmetries is discussed. We prove in specific examples that the octonionic structure constants enter the N=8 invariant actions as coupling constants. We further explain how to relate one-dimensional supersymmetric quantum mechanical systems to the dimensional reduction of higher-dimensional supersymmetric theories.

研究の動機と目的

• 有限体多重項のためのN-拡張1次元超対称性代数の既約表現（irreps）を分類すること。
• 超場の形式主義を越えたN-拡張超対称性シグマ模型のオフシェル不変作用素を構成すること。
• 分割代数（実数、複素数、四元数、オクタニオン）とそれらのカイレー・ディクソン倍加が、高次N超対称性の実現に果たす役割を調査すること。
• 分割代数の構造定数とオフシェル作用素の結合定数との関係を確立し、特にN=8の場合に焦点を当てる。
• セデニオンと高次代数が、次元削減を介して11次元超重力のオフシェル作用素を定式化する可能性を調査すること。

提案手法

• D-加群表現を用いて、N-拡張D=1超対称性代数の既約表現を分類し、それをクリフォード代数表現に写像する。
• カイレー・ディクソン倍加手順を適用して、R → C → H → O → セデニオンという無限列の代数を生成し、それぞれが増加するN超対称性に対応することを示す。
• オクタニオン構造定数を結合定数として用いてN=8のオフシェル不変作用素を構成し、明示的例で検証する。
• Cl(0,15)を介してN=16超対称性代数をセデニオンに関連させ、11次元超重力多重項（44ボソン的、128フェルミオン的、84ボソン的成分）とつなげる。
• 分割代数の構造定数が、超対称変換とオフシェル作用素ラグランジアンの両方に現れることを示し、単なる代数的関係ではないことを強調する。
• 次元削減を用いて1次元超対称系と高次元理論（特にM理論の低エネルギー極限としての11次元超重力）を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体多重項のためのN-拡張1次元超対称性代数の既約表現を完全に分類する方法は何か？
• RQ2 分割代数（例：オクタニオン）の構造定数が、N-拡張量子力学のオフシェル不変作用素にどのように結合定数として現れるか？
• RQ3 カイレー・ディクソン倍加手順は、超場形式が失敗するN > 8の場合に、オフシェル作用素を体系的に構成するフレームワークを提供できるか？
• RQ4 セデニオンとその分割代数でない構造が、N=16超対称性と11次元超重力への関連づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 1次元超対称量子力学は、11次元超重力とM理論のオフシェル定式化を探索するためのツールとしてどのように機能できるか？

主な発見

• D-加群表現を用いたN-拡張D=1超対称性代数の既約表現の完全な分類が達成され、多重項はクリフォード代数実現によって構造化されている。
• N=8の場合、本論文はオクタニオン構造定数がオフシェル不変作用素に明示的に結合定数として現れることを証明しており、これは文献で以前に同定されていなかった画期的な結果である。
• カイレー・ディクソン倍加プロセスにより、R → C → H → O → セデニオンという無限列の代数が生成され、それぞれがN=1,2,4,8,16,…に対応する超対称性に結びついている。
• N=16超対称性代数は256次元の多重項（128ボソン的および128フェルミオン的場）に実現されており、11次元超重力のオンシェル内容と一致する。
• 11次元超重力多重項（44ボソン的、128フェルミオン的、84ボソン的）は、N=16超対称性代数の線形表現を担っており、セデニオン的構造定数を通じた深い代数的関係を示唆している。
• 本論文は、N=8作用素のオクタニオン的共変化規則を、二重オクタニオン（N=9）およびセデニオン（N=16）に拡張可能であると示唆しており、11次元超重力のオフシェル定式化への道筋を示している。