[論文レビュー] Is a nonclassical symmetry a symmetry?

Michael Kunzinger, Roman O. Popovych|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、微分方程式における非古典的対称性の概念を批判的に検討し、それがリーの意味での真の対称性ではないと主張する。非古典的対称性という用語の代わりに、不変面条件を介したPDEの簡約における実際の数学的役割をより適切に反映するため、'簡約作用素'という用語の導入を提案する。

ABSTRACT

Various versions of the definition of nonclassical symmetries existing in the literature are analyzed. Comparing properties of Lie and nonclassical symmetries leads to the conclusion that in fact a nonclassical symmetry is not a symmetry in the usual sense. Hence the term "reduction operator" is suggested instead of the name "operator of nonclassical symmetries". It is shown that in contrast to the case of single partial differential equations a satisfactory definition of nonclassical symmetries for systems of such equations has not been proposed up to now. Moreover, the cardinality of essential nonclassical symmetries is discussed, taking into account equivalence relations on the entire set of nonclassical symmetries.

研究の動機と目的

• 非古典的対称性が、標準的なリー群理論的意味での真の対称性とみなせるかどうかを批判的に評価すること。
• 文献に見られる非古典的対称性の定義と応用における一貫性の欠如や曖昧さを特定し、解消すること。
• これらの対象に対してより正確で数学的に整合性のある用語—'簡約作用素'—を提案すること。
• 非古典的対称性に対する明確な定義が、PDEの連立系において欠落していることの解消。
• 非古典的対称性の基数と同値類、特にリー対称性や同値群との関係についての分析。

提案手法

• 文献に見られる非古典的対称性の複数の定義を分析し、概念的不整合を特定すること。
• リー対称性と非古典的対称性の性質を比較し、特に不変性と簡約に関する点に注目すること。
• 不変面条件およびPDEとその不変性条件の組み合わせ系を用いて、非古典的対称性が対称性の基準を満たすかどうかを評価すること。
• 簡約作用素の族に同値関係を導入し、非古典的対称性を分類すること。
• 非古典的対称性の決定方程式を検討し、リー対称性に対応する解やリー対称性群による同値性を持つ解を除外すること。
• 非古典的対称性の計算におけるアルゴリズム的課題と、このような簡約が自明または重複する場合の条件について議論すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非古典的対称性は、伝統的なリー群理論的意味での真の対称性とみなせるのか？
• RQ2 不変面条件の下で、非古典的対称性を一貫的に条件付き対称性として解釈できるか？
• RQ3 PDEの連立系における非古典的対称性の明確で標準的な定義は何か？また、これは単一方程式の場合から導出可能か？
• RQ4 同値性と重複を考慮した場合、本質的非古典的対称性の数は、古典的対称性の数と比べてどの程度になるか？
• RQ5 同値関係と対称性群の作用によって、異なる非古典的簡約の実効的数はどの程度削減されるか？

主な発見

• 非古典的対称性は、PDEとその不変面条件からなる全系の文脈において、標準的なリー対称性の基準を満たさない。
• 用語'非古典的対称性'は誤解を招くものであり、これらの対象がPDEの簡約における真の数学的役割を反映するため、'簡約作用素'に置き換えるべきである。
• PDEの連立系における非古典的対称性の満足すべき定義は、文献においてまだ確立されていない。
• 同値関係、特にリー対称性群や係数の可逆変換によって誘導されるものによって、本質的非古典的対称性の数は顕著に減少する。
• 多くの非古典的対称性は、リー対称性と同値であるか、リー群の作用によって得られるため、実用的な新規性が著しく低下する。
• 非古典的対称性を求める問題は、決定系が不定または新たな解を生まない場合、しばしば元のPDEを解くのと同等になる。