[論文レビュー] Is exponential metric a natural space-time metric of Newtonian gravity ?

M. Martinis, Nediljko Perković|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2010

Relativity and Gravitational Theory参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、質量エネルギー等価性 $E=mc^2$ から導かれる有効質量を用いてニュートン力学を再定式化することで、自然に指数関数的時空計量が得られることを提案している。相対論的補正を施した質量を用いた二体系に対してラグランジュ形式を適用すると、$g_{00} = e^{-2u}$、$g_{ii} = -e^{2u}$ という指数関数的計量が導かれ、その計量は近日点移動、光の屈折、重力赤方偏移を第一順位の重力ポテンシャル $u = GM/(rc^2)$ において一般相対性理論の予測と一致する。

ABSTRACT

We show how Newtonian gravity with effective (actually observed) masses, obeying the mass-energy relation of special relativity, can explain all observations used to test General relativity. Dynamics of a gravitationally coupled binary system is considered in detail, and the effective masses of constituents are determined. Interpreting our results in terms of motion in a curved space-time background, we are led, using the Lagrangian formalism, to consider the exponential metric as a natural space-time metric of Newtonian gravity.

研究の動機と目的

• ニュートン力学に $E=mc^2$ に由来する有効質量を導入することで、近日点移動や光の屈折といった重要な相対論的効果を再現できるかを調査すること。
• このような定式化から生じる時空幾何学が自然に指数関数的計量に至ることを特定すること。
• 有効質量を用いたニュートン力学におけるラグランジュ形式を用いることで、指数関数的計量が導かれるかを示すこと。
• アインシュタインの場の方程式を導入することなく、重力赤方偏移や光の屈曲といった相対論的現象を古典的解釈で説明できることを示すこと。
• 指数関数的計量が一般相対性理論の修正ではなく、重力場内における観測者依存の有効質量の自然な結果であると主張すること。

提案手法

• 重力ポテンシャル $u = GM/(rc^2)$ を用いて、$m_g = m_0 e^u$ と定義される有効質量を用いてニュートン力学を定式化し、相対論的エネルギー補正を組み込む。
• テスト粒子の運動を記述するラグランジュ関数 $L = -m_0 c^2 e^{-u} \sqrt{1 - e^{4u} \beta^2}$ を用い、重力場内での運動を導出する。
• 固有時間 $d\tau = dt_g \sqrt{1 - \beta_g^2}$ から計量を導出し、$g_{00} = e^{-2u}$ および $g_{ii} = -e^{2u}$ を得る。
• 二体問題にその計量を適用し、極座標系における軌道運動を微分方程式 $u^{\prime\prime} + u = \frac{1}{l^2} + 2(u^{\prime 2} + u^2)$ を用いて解析する。
• $u \ll 1$ の近似を用いて軌道方程式を級数展開し、近日点移動および光の屈折に対する近似解を得る。
• 光の軌道を解析する際には $m_0 = 0$ とし、弱い場の極限で $u^{\prime\prime} + u = 2u_1^2$ を解き、屈折角 $\Delta\varphi = 4GM_0/(c^2 r_{\text{min}})$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効質量が $E=mc^2$ を満たすニュートン力学は、惑星の近日点移動を再現できるか？
• RQ2 相対論的補正を施した質量を用いることで、ラグランジュ形式において指数関数的時空計量が得られるか？
• RQ3 有効質量を用いたニュートン力学で、光の屈折角を観測値 $4GM/c^2 r_{\text{min}}$ と一致させる正確な予測ができるか？
• RQ4 この枠組みにおいて重力赤方偏移はどのように生じるか？一般相対性理論と一致するか？
• RQ5 指数関数的計量は、一般相対性理論の修正ではなく、ニュートン力学における観測者依存の有効質量の自然な結果であるか？

主な発見

• 有効質量 $m_g = m_0 e^u$ をニュートン力学に用いた際、ラグランジュ形式から自然に指数関数的計量 $g_{00} = e^{-2u}$、$g_{ii} = -e^{2u}$ が導かれる。
• 理論は、一般相対性理論の予測と第一順位の $u$ において一致する近日点移動角 $\Delta\varphi \approx 6\pi GM/(c^2 a)$ を再現する。
• 光の屈折角は $\Delta\varphi = 4GM_0/(c^2 r_{\text{min}})$ として計算され、観測値および一般相対性理論の予測と完全に一致するが、通常のニュートン力学（裸の質量）では一致しない。
• 重力赤方偏移は $\Delta E/E \approx u(2) - u(1)$ として導出され、一般相対性理論の予測および観測データと一致する。
• 重力場内での粒子の有効質量は $m_g = m_0 e^u$ であり、地球表面では $m_g/m_0 \approx 1 + 7 \times 10^{-10}$ となり、相対論的補正が小さいことが確認される。
• 本理論は、一般相対性理論の場の方程式の完全な枠組みを必要とせず、相対論的現象を古典的解釈で説明可能である。