[論文レビュー] Is it possible to formulate least action principle for dissipative systems?

Qiuping A. Wang, Wang Ru|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2012

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 24被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、減衰する物体とそのエネルギー受容環境を一つの保存的複合系として扱うことで、散逸系に対する一般化された最小作用の原理を提案する。全ハミルトニアンに環境のエネルギーを含めた総ラグランジアン $ L = K_1 - V_1 - E_d $ を構築し、標準的な変分法を用いることで、非保存系における長年の問題を解決し、正しい減衰運動方程式を回復する。

ABSTRACT

A longstanding open question in classical mechanics is to formulate the least action principle for dissipative systems. In this work, we give a general formulation of this principle by considering a whole conservative system including the damped moving body and its environment receiving the dissipated energy. This composite system has the conservative Hamiltonian $H=K_1+V_1+H_2$ where $K_1$ is the kinetic energy of the moving body, $V_1$ its potential energy and $H_2$ the energy of the environment. The Lagrangian can be derived by using the usual Legendre transformation $L=2K_1+2K_2-H$ where $K_2$ is the total kinetic energy of the environment. An equivalent expression of this Lagrangian is $L=K_1-V_1-E_d$ where $E_d$ is the energy dissipated by the friction from the moving body into the environment from the beginning of the motion. The usual variation calculus of least action leads to the correct equation of the damped motion. We also show that this general formulation is a natural consequence of the virtual work principle.

研究の動機と目的

• 古典力学における散逸系に対する最小作用の原理を形式化する長年の課題を解決すること。
• エネルギー散逸環境を系の不可分な一部として含めることで、最小作用の原理の普遍性を回復すること。
• ハミルトニアン、ラグランジュ形式およびハミルトン＝ジャコビ形式を保存する一意でエネルギーに接続されたラグランジアンを導出すること。
• 環境のエネルギーを明示的に取り入れた場合に、変分原理が依然として有効であることを示すこと。
• この定式化が摩擦を超えて、他のエネルギー散逸機構（例：電磁放射、音響放射）へも適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 減衰物体とその環境からなる保存的複合系を定式化し、全ハミルトニアン $ H = K_1 + V_1 + H_2 $ をとる。ここで $ H_2 $ は環境のエネルギーを表す。
• ルジャンドル変換によりラグランジアンを導出：$ L = 2K_1 + 2K_2 - H $ であり、これは $ L = K_1 - V_1 - E_d $ に簡略化される。ここで $ E_d $ は環境に散逸する全エネルギーを表す。
• 標準的な変分法をラグランジアン $ L = K_1 - V_1 - E_d $ に適用し、$ \ \delta A = \int_0^{t_b} \delta L \, dt = 0 $ を満たすことで、正しい減衰運動方程式が得られることを保証する。
• ダランベールの虚位仕事の原理を用いて同じ作用原理を導出し、基礎的な力学的原理との一貫性を確認する。
• $ H_2 $ を明示的に表現することで、$ E_d $ を非局所的変数として用いるのを避けることにより、変分における不適切な高次項を回避し、時間的に局所的なラグランジアンを保証する。
• 摩擦に限らず、電磁放射や音響放射などのエネルギー散逸結合に対しても、このアプローチを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環境を系の一部として含めることで、散逸系に対する最小作用の原理を一貫的に定式化できるか？
• RQ2 標準的な変分法を保つ一意でエネルギーに接続されたラグランジアンが、減衰運動に対して存在するか？
• RQ3 環境エネルギー $ H_2 $ の導入が、従来の定式化における一意性の欠如とエネルギー接続の欠如をどのように解消するか？
• RQ4 散逸力が存在する状況において、導出された作用原理は虚位仕事の原理と整合的か？
• RQ5 この定式化は摩擦に限らず、放射や音響などの他のエネルギー散逸機構へ一般化可能か？

主な発見

• 提案されたラグランジアン $ L = K_1 - V_1 - E_d $ は、標準的な変分法を用いて正しく減衰運動方程式を再現する。
• この定式化により、作用 $ A = \int_0^{t_b} L \, dt $ が $ \delta A = 0 $ を満たすことが保証され、散逸系に対する最小作用の原理が回復される。
• 環境エネルギーを $ H_2 $ として明示的に表現することで、非局所的依存を回避し、変分における不適切な高次項を防ぐ。
• 得られたラグランジアンは一意的でエネルギーに接続されており、$ e^{\zeta t}(K - V) $ のような擬似ラグランジアンを用いた従来の手法とは異なり、一意性とエネルギー接続性を保つ。
• 虚位仕事の原理と整合的であることが示され、$ \delta A = 0 $ が $ \int (f_c + f_d - m\ddot{x}) \delta x \, dt = 0 $ から導出可能である。
• このアプローチは一般性を持ち、摩擦に限らず、電磁放射や音響放射などのエネルギー散逸機構に対しても適用可能である。