[論文レビュー] Is It Reasonable to Substitute Discontinuous SMC by Continuous HOSMC?

Ulises Pérez‐Ventura, Leonid Fridman|arXiv (Cornell University)|May 26, 2017

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、寄生的ダイナミクスを有する系において、不連続な一次スライディングモード制御（FOSMC）を連続的なスーパー・ツインキング・アルゴリズム（STA）に置き換えることで、ちくちく（chattering）が軽減されるかどうかを調査する。ハーモニック・バランス（HB）解析と平均パワー（AP）基準を用いて、いかなるアクチュエータ時間定数（ATC）に対しても、FOSMCがSTAよりも低いちくちくを生じるような摂動が存在することを示している。一方、ATCが十分に小さい場合には、STAがより低いちくちくとAPを達成する。FOSMCとSTAの間でちくちく振幅とAPが等しくなる臨界ATC値が導出された。

ABSTRACT

Professor Utkin in his discussion paper proposed an example showing that the amplitude of chattering caused by the presence of parasitic dynamics in systems governed by First-Order Sliding-Mode Control (FOSMC) is lower than the obtained using Super-Twisting Algorithm (STA). This example served to motivate this research reconsidering the problem of comparison of chattering magnitude in systems governed by FOSMC that produces a discontinuous control signal and by STA that produces a continuous one, using Harmonic Balance (HB) methodology. With this aim the Averaged Power (AP) criteria for chattering measurements is revisited. The STA gains are redesigned to minimize amplitude or AP of oscillations predicted by HB. The comparison of the chattering produced by FOSMC and STA with redesigned gains is analyzed taking into account their amplitudes, frequencies and values of AP allowing to conclude that: (a) for any value of upperbound of disturbance and Actuator Time Constant (ATC) there exist a bounded disturbance for which the amplitude and AP of chattering produced by FOSMC is lower than the caused by STA; (b) if the upperbound of disturbance and upperbound of time-derivative disturbance are given, then for all sufficiently small values of ATC the amplitude of chattering and AP produced by STA will be smaller than the caused by FOSMC; (c) critical values of ATC are predicted by HB for which the parameters, amplitude of chattering and AP, produced by FOSMC and STA are the same. Also the frequency of self-exited oscillations caused by FOSMC is always grater than the produced by STA.

研究の動機と目的

• 寄生的ダイナミクス下で、連続的HOSMC（特にSTA）が不連続FOSMCよりもちくちく低減の観点で優れているかどうかを評価すること。
• V. Utkinが、アクチュエータのダイナミクスが存在する際、STAがFOSMCよりも高いちくちく振幅を生じることがあると観察したという論争を解消すること。
• ハーモニック・バランス（HB）および平均パワー（AP）に基づく体系的な手法を確立し、FOSMCとSTA間のちくちくの大きさと周波数を比較すること。
• HBに基づくAP基準を用いて、STAゲイン（k1, k2）を再設計し、限られたアクチュエータ帯域幅を有する実用的システムにおける最適性能を達成すること。

提案手法

• ハーモニック・バランス（HB）手法を用いて、Levantのエネルギー的基準を平均パワー（AP）に再定式化し、ちくちく振幅と周波数を推定する。
• 閉ループ系を摂動を受ける発振子としてモデル化し、出力x(t)を一次調波として近似：x(t) = A sin(ωt)。
• アクチュエータ時間定数（ATC）、摂動の境界（δ, ∆）、および制御ゲイン（M, k1, k2）の関数として、ちくちく振幅AとAPの解析的表現を導出する。
• FOSMCとSTAの間でちくちく振幅が等しくなる臨界ATC値µ*と、APが等しくなる臨界ATC値µ⋆を特定する。
• HBに基づくAP基準を用いて、ちくちく振幅とAPの両方を最小化するようにSTAゲイン（k1, k2）を再設計する。
• さまざまな摂動周波数およびATC値において、FOSMCとSTAの性能を比較するシミュレーションにより結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 いかなる与えられたアクチュエータ時間定数（ATC）に対しても、FOSMCがSTAよりも低いちくちく振幅を生じるような有界な摂動が存在するか？（STAの制御入力が連続的であるにもかかわらず）
• RQ2 摂動の境界（δ, ∆）およびATCがどのような条件下で、STAがFOSMCよりも低いちくちく振幅と平均パワー（AP）を達成するか？
• RQ3 FOSMCとSTAのちくちく振幅とAPが等しくなる臨界ATC値を解析的に導出できるか？
• RQ4 寄生的ダイナミクス下で、FOSMCとSTAの自己励起振動の周波数と振幅はどのように異なるか？
• RQ5 ちくちく振幅とAPを最小化するようにSTAゲインを再設計することは可能か？また、その結果、FOSMCを上回る性能が達成されるか？

主な発見

• いかなるATC値に対しても、FOSMCがSTAよりも低いちくちく振幅と平均パワー（AP）を生じるような有界な摂動が存在する。これはUtkinの仮説を裏付ける。
• 摂動の上界（δ）とその時間微分（∆）が固定されている場合、ATCが十分に小さい（µ → 0）場合には、STAのちくちく振幅とAPはFOSMCよりも小さい。
• 臨界ATC値を解析的に導出：ちくちく振幅が等しくなるためのµ* = 0.125 δ/∆、APが等しくなるためのµ⋆ = 0.1924 δ/∆。
• 自己励起振動の周波数は、ATCにかかわらず、FOSMCの方がSTAよりも常に高い。
• シミュレーション結果により、ATC > µ* の場合、FOSMCがSTAよりも低いちくちくを生じる。一方、ATC < µ* の場合、逆にSTAがFOSMCを上回る。
• δ = ∆ = 60 の例では、臨界ATC値はµ* = 0.125およびµ⋆ = 0.1768であり、シミュレーションにより、µ > 0.1768 のときのみFOSMCがSTAよりも低いAPを達成することが確認された。