[論文レビュー] Is Lipschitz Continuity Preserved under Sampled-Data Discretization?

Masoud Abbaszadeh|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Control Systems and Identification参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非線形連続時間システムのゼロオーダーホールド（ZOH）に基づく近似離散化において、リプシッツ連続性が保存されるかを調査する。連続時間のリプシッツ定数、システム行列ノルム、サンプリング周期、ヤコビアン微分を用いて、離散時間のリプシッツ定数および片側リプシッツ定数の解析的表現を導出し、有界な条件下で性質が保存され、明示的な誤差境界を示している。

ABSTRACT

Usually, given a continuous-time nonlinear model, a closed form solution for an exact discretization cannot be found explicitly, originating the need of approximating discrete-time models. This note studies the preservation of the Lipschitz continuity under approximate discretizations.

研究の動機と目的

• 非線形連続時間システムのリプシッツ連続性の性質が、ZOHに基づく近似離散化によっても保存されるかを分析すること。
• 標準的なリプシッツ連続性よりも制約が緩い片側リプシッツ条件への分析を拡張すること。
• 連続時間パラメータに基づいて、離散時間リプシッツ定数の明示的解析的表現を導出すること。
• 標本化データ制御システムにおける安定性および性能保証の保存に関する定量的境界を提供すること。
• 高次近似モデルの制御設計への応用を支援するために、離散化における連続性保存を確立すること。

提案手法

• ZOH仮定の下で、各サンプリングインターバル内における連続時間システム解のテイラー＝ライ級数展開を用いる。
• システムダイナミクスの逐次時間微分を用いて、3次までの近似離散時間モデルを導出する。
• 行列ノルムおよび内積の性質を適用して、離散時間におけるリプシッツ条件を評価する。
• システム行列Aの誘導ノルムおよびヤコビアン ∂f/∂x のスペクトルノルムを用いて、状態差の増大を定量化する。
• 離散時間リプシッツ定数 γd を T、γc、∥A∥、および高次微分に依存する関数として境界を設定する。
• 片側リプシッツ定数 ρd についても別個の式を導出し、ρc および γc に依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZOH離散化によって得られる近似離散時間モデルにおいて、標準的な両側リプシッツ連続性条件は維持されるか？
• RQ2 同じ離散化において片側リプシッツ条件は保存可能か？ また、両側の場合とどのように関係するか？
• RQ3 ZOH下で、連続時間リプシッツ定数と離散時間対応定数との間の解析的関係は何か？
• RQ4 サンプリング周期 T およびシステム行列ノルムは、離散化モデルにおけるリプシッツ連続性の保存にどのように影響するか？
• RQ5 2次および3次近似モデルにおける離散時間リプシッツ定数の明示的表現は何か？

主な発見

• 2次近似の場合、離散時間の両側リプシッツ定数 γd は Tγc + T²(∥A∥γc + γc²/2) で有界である。
• 3次モデルでは、2階微分ノルム β および関数ノルム M を含む追加項が γd に含まれ、T³ に明示的な依存関係がある。
• 片側リプシッツ定数 ρd は Tρc + (T²/2)∥A∥(ρc + γc + ρcγc) として表現され、片側および両側定数の結合が示される。
• 離散リプシッツ定数はサンプリング周期 T に対して線形に増大するが、高次項はシステム行列およびヤコビアンノルムに依存する。
• 連続時間システムが条件を満たし、T が十分に小さい限り、リプシッツ連続性が ZOH離散化によって保存されることを確認した。
• 導出された境界は、標本化データ非線形システムにおける安定性解析およびLMIに基づく制御器設計の基盤を提供する。